7. 符号计算

03
七月
2021

文章目录

  • A 符号对象
    • A.a 符号对象的建立
    • A.b 符号对象的运算
    • A.c 符号矩阵
  • B 符号微积分
    • B.a 符号函数的极限
    • B.b 符号函数的导数
    • B.c 符号函数的积分
    • B.d 河道水流量的估算问题
  • C 级数
    • C.a 级数求和
    • C.b 级数求和应用实例
    • C.b 特例
    • C.c 泰勒级数
    • C.d 泰勒级数的应用
  • D 符号方程求解
    • D.a 代数方程
    • D.b 常微分方程
    • D.c 疾病传染问题

A 符号对象

A.a 符号对象的建立

  • sym函数
  • syms命令

<1> sym函数
sym函数用于建立单个符号对象,其常用调用格式为:符号对象名=sym(A)
将由A来建立符号对象。其中,A可以是一个数值常量、数值矩阵或数值表达式(不加单引号),此时符号对象为一个符号常量;A也可以是一个变量名(加单引号),这是符号对象为一个符号常量。

例子(符号常量):

t = sym(2);
t+1/2
sin(sym(pi/3))
sin(pi/3)

在这里插入图片描述
s i n ( s y m ( p i / 3 ) ) sin(sym(pi/3)) sin(sym(pi/3))得到的是一个表达式,而 s i n ( p i / 3 ) sin(pi/3) sin(pi/3)得到的是一个数值。
例子(符号变量):

a = 5;
b = -8;
x = sym('a');
y = sym('b');
w = (a+b)*(a+b)
s = (x+y)*(x+y)

在这里插入图片描述

结论:符号计算的结果是一个精确的数学表达式。数值计算的结果是一个数值。

将符号表达式转化为数值结果,使用eval() 将字符串当成命令来实现
在这里插入图片描述

sym一次只能定义单个符号对象,如果符号对象很多,就不方便。


<2>syms命令
syms命令可以一次定义多个符号变量,其一般调用格式如下:
syms 符号变量1 符号变量2 ... 符号变量n
其中,变量名不能加单引号,相互之间用空格隔开。如:
在这里插入图片描述

建立完符号对象,再用符号运算符连接起来,就组成了符号表达式。

A.b 符号对象的运算

<1>四则运算
符号表达式的四则运算与数值运算一样,用+、-、*、/运算符实现,其运算结果依然是一个符号表达式。

syms x;
f = 2*x^2+3*x-5;
g = x^2-x+7;
f+g

在这里插入图片描述

<2>关系运算

  • 6种关系运算符:<、<=、>、>=、==、~=
  • 对应的6个函数:lt()、le()、gt()、ge()、ge()、eq()、ne()

若参与运算的是符号表达式,其结果是一个符号关系表达式;若参与运算的是符号矩阵,其结果是由符号关系表达式组成的矩阵。

在这里插入图片描述

在进行符号对象的运算前,可用assume函数对符号对象设置域,函数调用格式为:
assume(condition)
assume(expr, set)

第一种格式指定变量满足条件condition,第二种格式指定表达式expr属于set
在这里插入图片描述

<3>逻辑运算

  • 3种逻辑运算符:&(与)、|(或)和~(非)
  • 4个逻辑运算函数:and()、or()、not()和xor()
  • 在这里插入图片描述

<4>因式分解与展开运算
MATLAB提供了对符号表达式进行因式分解、展开、合并的函数,函数的调用格式为:
fator(s):对符号表达式s分解因式。

syms a b;
s = a^3-b^3;
factor(s)
%梅森素数
syms p;
m = 2^p-1;
p = 19;
m19 = eval(m)
factor(m19)

在这里插入图片描述

expand(s):对符号表达式s进行展开。
collect(s):对符号表达式s合并同类项。
collect(s, v):对符号表达式s按变量v合并同类项。

<5>其他计算

  • 1 提取有理分式的分子分母:[n, d]=numden(s)
    在这里插入图片描述
  • 2 提取符号表达式的系数(低位到高位):c=coeffs(s, x)
    在这里插入图片描述
  • 3 符号表达式化简:simplify(s)
  • 4符号多项式与多项式系数向量之间的转换:
    符号多项式转换为多项式系数向量:p=sym2poly(s)
    多项式系数向量转换为符号多项式:s=ploy2sym()
    在这里插入图片描述
    f只能有一种符号变量

例子:

syms a b c x;
f = a*x^2+b*x+c
g = coeffs(f,x)
g = g(end:-1:1)
roots(g)

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<6>符号运算中变量的确定

  • 如果没有明确指定自变量,MATLAB将按以下原则确定主变量并对其进行相应运算:
    寻找除了i、j之外,在字母顺序上最接近x的小写字母。
    若表达式中有两个符号变量与x的距离相等,则ASCII码大者优先。

  • symvar()函数可以用于查找一个符号表达式中的符号变量,函数的调用格式为:symvar(s,n)。函数返回符号符号表达式s中的n个符号变量。因此,可以用symvar(s, 1)查找表达式s的主变量。

A.c 符号矩阵

符号矩阵也是一种符号表达式,所以符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。
注意:这些函数作用于符号矩阵时,是分别作用于矩阵的每一个元素。

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
由于符号矩阵也是矩阵,所以有关矩阵的函数也可以使用。

syms lambda;
A = [1-lambda,-2,4;2,3-lambda,1;1,1,1-lambda];
D = det(A);
factor(D)

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B 符号微积分

B.a 符号函数的极限

<1>符号函数的极限

  • 求符号函数极限的命令limit,其调用格式为:limit(f, X, a)即求函数f关于变量x在a点的极限。若x省略,则采用系统默认的自变量。a的默认值为0。
  • limit函数的另一种功能是求单边极限,其调用格式为:
    limit(f, x, a, 'right')
    limit(f,x,a,'left')
syms a m x n;
f = (x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);
limit(f,x,a)
g = (1+1/n)^n;
limit(g,n,inf)

在这里插入图片描述

B.b 符号函数的导数

MATLAB中的求导函数为:diff(f, x, n)
即求函数f关于变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数limit,可以缺省,默认值与limit相同,n的默认值是1。

syms x y;
f = sqrt(1+exp(x));
diff(f)

g = x*exp(y)/y^2;
diff(g,x)
diff(g,y)

在这里插入图片描述

极限、导数、微分的概念是紧密关联的。有极限是可导的前提,而导数是微分之商,因此导数也称为微商。

B.c 符号函数的积分

<1>不定积分

在MATLAB中,求不定积分的函数是int,其常用调用格式为:int(f, x)求函数f对变量x的不定积分。

syms x t;
f = (3-x^2)^3;
int(f)
g = 5*x*t/(1+x^2);
int(g,t)

在这里插入图片描述

<2>定积分
在MATLAB中,定积分的计算也使用int命令,但调用格式有区别:
int(f, a, b)
其中,a、b分别表示定积分的下限和上限。

  • 当函数关于变量x在闭区间[a, b]可积时,函数返回一个定积分的结果。
  • 当a、b中有一个是inf时,函数返回一个广义积分。
  • 当a、b中有一个是符号表达式时,函数返回一个符号函数。
syms x t;
int(abs(1-x),1,2)
int(1/(1+x^2),-inf,inf)
int(4*x/t,t,2,sin(x))

在这里插入图片描述

B.d 河道水流量的估算问题

根据实际测量,得到河流某处宽600m,其横截面不同位置某一时刻的水深如下表所示。

x050100150200250300350400450500550600
h(x)4.44.54.64.84.95.15.45.25.55.24.94.84.7

①若此刻水流的流速为0.6m/s,试估计该河流此刻的流量。
②已知x方向[50,60]区间为坡式护岸的下部护脚部分,根据相关堤防设计规范,抛石护岸护脚坡度应缓于1:1.5(正切值),请估计水流冲刷是否已破坏该区域的护脚。

①先拟合出河床曲线,然后进行定积分,计算出河流横截面,即可估计流量。
②根据河床曲线,计算其导函数,并判断相应范围内导函数的取值是否大于1:1.5。

xi=0:50:600; 
yi=[4.4,4.5,4.6,4.8,4.9,5.1,5.4,5.2,5.5,5.2,4.9,4.8,4.7]; 
%曲线拟合
p=polyfit(xi, yi,3); 
plot(xi, yi,'o', xi, polyval(p, xi)); %同时画出散点图与拟合函数。
syms y x; 
y=poly2sym(p,x); 
s=int(y,x,0,600); %计算横截面积
v=s*0.6; %计算水流量
eval(v)
123456789
ans =
   1.7874e+03
12

1
方法一:

xi=0:50:600; 
yi=[4.4,4.5,4.6,4.8,4.9,5.1,5.4,5.2,5.5,5.2,4.9,4.8,4.7]; 
yn=-yi;
p=polyfit(xi, yn,3); %这两句是为了让函数开口朝上,更符合河道真实情况。
plot(xi, yn,'o', xi, polyval(p, xi)); 
syms y x yii; 
y=poly2sym(p,x); 
yii=diff(y,x); 
x=50:60; 
k=eval(yii); 
all(abs(k)<1/1.5)%判断相应范围内导函数的取值是否小于1:1.5。all(i):若向量i中所有元素非零,结果为1,否则结果为0。
1234567891011
ans =
  logical
   1
123

在这里插入图片描述
方法二:

xi=0:50:600; 
yi=[4.4,4.5,4.6,4.8,4.9,5.1,5.4,5.2,5.5,5.2,4.9,4.8,4.7]; 
yn=-yi;
p=polyfit(xi, yn,3); %这两句是为了让函数开口朝上,更符合河道真实情况。
plot(xi, yn,'o', xi, polyval(p, xi)); %polyval(p, xi)可以求得多项式在xi的函数值并放到p中。
x=50:60; %步长为1
y=polyval(p,x); 
k=diff(y)/1;%diff为差分函数,步长为1,k就是微商,导数。
all(abs(k)<1/1.5) 
123456789
ans =
  logical
   1
123

可以看出,结果为1,也就是说,在[50,60]内,导函数的取值是小于1:1.5,符合要求。

C 级数

C.a 级数求和

在这里插入图片描述
例子:

syms n;
s1 = symsum(n^2,1,100)
s2 = symsum((-1)^(n-1)/n,1,inf)
s3 = symsum((-1)^(n-1)/(2*n-1),n,1,inf)

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
hypergeom:超几何函数

C.b 级数求和应用实例

假设某人在银行存款50000元,年利率为4.5%,按复利计息。
①若半年期计息一次,请问一年后总金额是多少?
②若每季度计息一次,请问一年后总金额是多少?
③若每月计息一次,请问一年后总金额是多少?
④若计息时间无限短,即计息期数趋于无穷,则一年后总金额是多少?
思考:期数无限多,总金额是否也会无限增长?
问题分析:
假 设 存 款 ( 初 始 总 金 额 ) 为 p , 年 利 率 为 r , 计 息 期 数 为 k 。 第 一 期 后 总 金 额 为 p ∗ ( 1 + r / k ) 。 第 二 期 后 总 金 额 为 p ∗ ( 1 + r / k ) ^2 。 第 三 期 后 总 金 额 为 p ∗ ( 1 + r / k )^ 3 。 依 此 类 推 , 第 k 期 后 总 金 额 为 p ∗ ( 1 + r / k )^ k 。

①若半年期计息一次,请问一年后总金额是多少?

syms k r; 
p2=symsum(50000*(1+0.045/k)^k,k,2,2); 
eval(p2)
123
ans =
   5.2275e+04
12

②若每季度计息一次,请问一年后总金额是多少?

syms k r; 
p4=symsum(50000*(1+0.045/k)^k,k,4,4); 
eval(p4)
123
ans =
   5.2288e+04
12

③若每月计息一次,请问一年后总金额是多少?

syms k r; 
p12=symsum(50000*(1+0.045/k)^k,k,12,12); 
eval(p12)
123
ans =
   5.2297e+04
12

④若计息时间无限短,即计息期数趋于无穷,则一年后总金额是多少?

limit((1+r/k)^k,k,inf)%计算一下lim(1+r/k)^k,k趋于无穷大时的结果。
1
ans =
exp(r)
12

所以,即使是无数次计息,只要年利率确定,总金额也不会无限增长,它收敛于p e r pe^rper
当p=5000,r=4.5%时。

5000*exp(0.045)
1
ans =
   5.2301e+03
12

C.b 特例

注 意 : 在 符 号 计 算 中 , 因 为 小 数 都 表 示 为 有 理 分 数 的 形 式 , 随 着 计 算 次 数 的 增 加 , 容 易 导 致 分 子 或 分 母 出 现 极 大 整 数 从 而 无 法 计 算 的 情 况 。 \color{red}注意:\在符号计算中,因为小数都表示为有理分数的形式,随着计算次数的增加,\容易导致分子或分母出现极大整数从而无法计算的情况。注意:在符号计算中,因为小数都表示为有理分数的形式,随着计算次数的增加,容易导致分子或分母出现极大整数从而无法计算的情况。
求以下级数之和
(1) S 1 = 1 + 1 / 4 + 1 / 9 + . . . + 1 / n 2 + . . .
(2) S 2 = 1 + 1 / 4 + 1 / 9 + . . . + 1 / 500 2

syms n; 
s1=symsum(1/n^2,n,1,inf)
12
s1 = 
pi^2/6
12
syms n; 
s2=symsum(1/n^2,n,1,500)
12
s2 =
409896675094...
12
eval(s2)
1
ans =
   NaN
12

第2个级数无法使用symsum函数求和。但可以使用循环计算。

s=0
for i=1:500
    s=s+1/i^2
end
1234
s =
    1.6429

C.c 泰勒级数

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
例子:

syms x;
f = (1+x+x^2)/(1-x+x^2);
taylor(f,x,1,'Order',6)
expand(ans)

在这里插入图片描述

C.d 泰勒级数的应用

复杂函数的计算方法问题
除 了 四 则 运 算 以 外 , 计 算 机 对 其 他 复 杂 函 数 怎 么 计 算 ? 是 否 存 在 一 种 方 法 , 使 得 计 算 机 只 需 要 通 过 四 则 运 算 , 就 能 计 算 其 他 复 杂 函 数 ?
泰勒级数展开就是一种非常好的解决方案。
例 利用泰勒展开式计算三角函数的值。

syms x; 
f=taylor(cos(x),x,pi)%求cos(x)的泰勒展开式并赋值给f
12
f = 
(x - pi)^2/2 - (x - pi)^4/24 - 1
12
syms x; 
f=taylor(cos(x),x,pi);
x=3;
eval(f)
1234
ans =
   -0.9900
12
cos(3)
1
ans =

   -0.9900
123

通过泰勒级数展开的方法,成功地将三角函数的计算转换成了四则运算。
是不是感觉数学实在是太美妙了。

D 符号方程求解

D.a 代数方程

在这里插入图片描述
例子:

syms x y a b c
%法一
solve(a*x^2+b*x+c==0)

%法二
f = a*x^2+b*x+c==0
solve(f)

%法三
solve(a*x^2+b*x+c)

%法四
f = a*x^2+b*x+c
solve(f)

在这里插入图片描述
solve所得到的结果可能不准确:

syms x y;
u = solve(x + (2-x^(1/3))^3==98)
v = 98-u

在这里插入图片描述
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D.b 常微分方程

在这里插入图片描述

syms x y t;
y = dsolve('Dy-(x^2+y^2)/x^2/2',x)
[x,y] = dsolve('Dx = 4*x-2*y','Dy = 2*x - y',t)

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
注意单引号。


D.c 疾病传染问题

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syms a b c y t;
f = dsolve('Dy = a*y*(1-y)-c*y','y(0)=b',t)

f = dsolve('Dy = a*y*(1-y)-a*y','y(0)=b',t)


f =
 
((a - c)*(tanh((t + (2*atanh((2*a*b)/(a - c) - 1))/(a - c))*(a/2 - c/2)) + 1))/(2*a)

f =
 
b/(a*b*t + 1)

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