音频进阶学习十二——Z变换

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前言

在之前博客中，对于线性常系数差分方程求解中，我们提到了对于差分方程频域上求解有一种方法，叫做Z变换。

本章博客中，将对于Z变换的作用，公式，收敛域，性质与定理做一个详细的介绍。当然，Z变换公式的推导一样是以复指数序列和共轭相关性为基础，如果对于此还不是很熟悉可以先看看之前的对于DTFT推导的博客。

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一、Z变换

1.Z变换的作用

前面我们说过对于一个离散序列我们使用复指数序列表示后，可以使用DTFT进行离散傅里叶变换：

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$
与之对应的IDTFT表示形式为：
$$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$$
其中，$e^{-j\omega n}$为模长为1 的复指数。

对于DTFT的存在条件前文也说过，必须要满足一致收敛，均方收敛，冲击表示。那么在对于不满足DTFT条件下，需要引入一个新的序列进行分析，这一过程就叫做Z变换。

2.Z变换公式

我们之前的文章中说过，$z$表示在复平面上的点，根据欧拉公式，$z=r\ast e^{j\omega }$，其中$r$为模长，那么$z^{-n}=r^{-n}{e}^{-j\omega n}$，对于Z变换，和DTFT表示一样，对于序列表示为复指数序列：
$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]r^{-n}{e}^{-j\omega n}$$
对于Z反变换
$$x[n]=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}X(z)z^{n-1}dz$$

3.Z的状态表示

分析$z=r\ast e^{j\omega }$时，会有三种情况

1）$r=1$

这个很好理解，当$r=1$时，$z^n=r^n\ast e^{-j\omega n}=>z^n=e^{j\omega n}$，而对于复指数$z^{-n}$，Z变换其实就是DTFT：
$$X(z){|}_{z=e^{j\omega }}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}=X(e^{j\omega })$$

2）$0<r<1$

当$0<r<1$，为了方便展示，乘上一个$10$的系数，对于$10\ast z^n=10\ast r^n\ast e^{-j\omega n}$，它在复平面上的极坐标实际上是越转越小，如下图：

对于$r^n{e}^{j\omega n}$的实部和虚部，在当$n$逐渐变大时，Re和Im呈指数衰减。对于$r^{-n}{e}^{-j\omega n}$，那么$n$越大，Re和Im呈指数增长。

3）$r>1$

而当 $r>1$时，情况正好相反，它在复平面上的极坐标实际上是越转越大。

对于$r^n{e}^{j\omega n}$实部与虚部也是随着$n$的增大而呈指数增长。而对于$r^{-n}{e}^{-j\omega n}$，那么$n$越大，Re和Im呈指数衰减。

4.关于Z的解释

理解复指数$z$的状态之后，我们再来思考为什么要引入复指数$z$？

根据之前文章对于DTFT的理解，根据欧拉公式引入复指数$e^{j\omega n}$，根据复指数的正交性来判断是否序列在某一个频率上有影响，此时复指数$e^{j\omega n}$模长为1，即单位圆。

而对于$z^n=r^n\ast e^{j\omega n}$中，对于复指数的模长为$r^n$，根据正交性来计算投影，如果在${\omega }_k$上处于正交，那说明对于该${\omega }_k$不存在影响，这与$r^n$无关，而$r^n$的作用：

• 当$r>1$：$r^{-n}$ 会衰减指数增长的信号，例如$x[n]=2^n$
• 当$0<r<1$：$r^{-n}$ 会放大指数增长的信号，例如$x[n]=(\frac{1}{2}{)}^n$

这种情况下就可以对于某些信号进行收敛，进而进行频域分析。

二、收敛域

1.收敛域的定义

收敛域 (Region of Convergence, ROC) 是指复平面中 $z$ 的所有值（或区域），使得 Z 变换所涉及的无限级数绝对收敛。也就是说，对于Z变换有：
$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n},z\in \mathbb{C},z=r{e}^{j\omega }$$
其中$\mathbb{C}$是复数集合，而要满足上述式子绝对收敛，那么则有：
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]z^{-n}|=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]||z^{-n}|<\infty$$
收敛域 ROC是所有使上述条件成立的 $z$值组成的集合。如果去除$e^{j\omega n}$的表示，即当
$$|X(z)|\le \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]r^{-n}|$$
$z$的值满足收敛。

2.收敛域的表示方式

根据Z变换公式$X(z)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x[n]r^{-n}{e}^{-j\omega n}$，结合上图不难看出，对于序列的收敛取决于$r,n$的取值范围，例如：

• 当$r>1$时，当$n$趋向正无穷的时候，序列是衰减的，而当$n$趋向负无穷的时候，序列是增长的
• 当$0<r<1$时，当$n$趋向正无穷的时候，序列是增长的，而当$n$趋向负无穷的时候，序列是衰减的

所以对于满足Z变换收敛${\sum }_{n=-\infty }^{\infty }|x[n]z^{-n}|<\infty$，可以将其拆分为$n<0，n\ge 0$的表示形式：
$$\begin{gathered} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]r^{-n}|=\sum _{n=-\infty }^{-1}|x[n]r^{-n}|+\sum _{n=0}^{+\infty }|x[n]r^{-n}|=> \\ =\sum _{n=-\infty }^{-1}|x[n]r^{|n|}|+\sum _{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{r}{)}^n| \end{gathered}$$

3.ROC的分析

我们知道收敛域ROC是一组复平面上的集合，上文中将Z变换进行正次幂表示，拆分成$n<0，n\ge 0$两种情况进行分析收敛域：
$$|X(z)|\le \sum _{n=-\infty }^{-1}|x[n]r^{|n|}|+\sum _{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{r}{)}^n|$$
那么对这两种情况进行单独的分析。

1）当$n\ge 0$时

当$n\ge 0$时，也就是分析上述中${\sum }_{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{r}{)}^n|$的收敛域。

现在假设当$r=R_{x-}$时，满足${\sum }_{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{R_{x-}^n}{)}^n|<\infty$，那么当$r>R_{x-}$，一定满足${\sum }_{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{R_{x-}^n}{)}^n|<\infty$。具体分析如下：
当$r>R_{x-}$，令$r=k{R}_{x-},k>1$，则
$$\sum _{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{k^n{R}_{x-}^n}{)}^n|\le \sum _{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{R_{x-}^n}{)}^n||\frac{1}{k^n}|<\sum _{n=0}^{+\infty }|x[n](\frac{1}{R_{x-}^n}{)}^n|<\infty$$

如果使用复平面进行表示，就如同下图：

也就是说收敛域$|z|>R_{x-}$，即ROC为以原点为圆心的圆外部分。

2）当$n<0$时

当$n<0$时，也就是分析上述中${\sum }_{n=-\infty }^{-1}|x[n]r^{|n|}|$的收敛域。

现在假设当$r=R_{x+}$时，满足${\sum }_{n=-\infty }^{-1}|x[n]r^{|n|}|<\infty$，那么当$r<R_{x+}$，一定满足${\sum }_{n=-\infty }^{-1}|x[n]r^{|n|}|<\infty$（具体分析和上述一样，不具体进行展示了）。

如果使用复平面进行表示，就如同下图：

也就是说收敛域$|z|<R_{x+}$，即ROC为以原点为圆心的圆内部分。

3）整体ROC复平面

从上文分析两种情况结合来看，满足Z变换公式成立条件，需要满足收敛域$|z|<R_{x+},|z|>R_{x-}$，即$R_{x-}<|z|<R_{x+}$，所以

• 当$R_{x-}>R_{x+}$，不存在收敛域，即Z变换公式成立不存在
• 当$R_{x-}<R_{x+}$，存在收敛域，它表示为复平面上的圆环，如下图
  

3.极点与零点

当$X(z)=0$时，将$Z$的取值叫做零点
当$X(z)=\infty$时，将$Z$的取值叫做极点

三、Z变换ROC举例

1.右边序列

右边序列是指$x[n]=0,n<N$。现在令$x[n]=a^{n}u[n]$，求$X(z)$的收敛域：

分析：$x[n]$不仅是一个右边序列，还是一个因果序列，将其代入Z变换中
$$\begin{gathered} X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }{a}^{n}u[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }(a{z}^{-1}{)}^n=> \\ =(a{z}^{-1}{)}^1+(a{z}^{-1}{)}^2+(a{z}^{-1}{)}^3+...+(a{z}^{-1}{)}^n \end{gathered}$$
实际上就是一个等比公式，则对于等比公式前$n$项求和为：
$$\begin{gathered} a_n=a_1\times q^{n-1} \\ {S}_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \\ \underset{n=\infty }{\lim }{S}_n=\frac{a_1}{1-q},|q|<1 \end{gathered}$$
其中$a_1$是首项，$q$为公比，$S_n$为总和。在上述中首项$a_1=1$，$q=a{z}^{-1}$，所以
$$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(a{z}^{-1}{)}^n=\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$$
由于该序列是一个右边序列，也就是$n⟶\infty$，对于$z=r\ast e^{j\omega }$，则收敛域为
$$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(a{z}^{-1}{)}^n<\infty ⟺(a{z}^{-1})<1⟺|z|>|a|$$
其中极点为$a$，如下图

2.左边序列

左边序列是指$x[n]=0,n\le 0$。现在令$x[n]=-a^{n}u[-n-1]$，求$X(z)$的收敛域：

分析，将$x[n]$代入Z变换：
$$\begin{gathered} X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=0}^{\infty }{a}^{n}u[-n-1]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}(a{z}^{-1}{)}^n=> \\ -\sum _{n=1}^{\infty }(a{z}^{-1}{)}^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(a^{-1}z{)}^n \end{gathered}$$
根据等比公式求和
$$\begin{gathered} X(z)=-\sum _{n=1}^{\infty }(a^{-1}z{)}^n=\frac{-a^{-1}z}{1-a^{-1}z}=> \\ \frac{(-a^{-1}z)\times (a{z}^{-1})}{(1-a^{-1}z)\times (a{z}^{-1})}=\frac{1}{1-a{z}^{-1}} \end{gathered}$$
由于该序列是一个左边序列，则收敛域为
$$X(z)=|-\sum _{n=1}^{\infty }(a^{-1}z{)}^n|<\infty ⟺(a^{-1}z)<1⟺|z|<|a|$$

其中极点为$a$，如下图

四、Z变换的性质与定理

1.性质

对于性质的介绍，之前介绍DTFT和DFS中都已经重复说过了，不过这里我们需要关注的是对于收敛域的影响.

性质	公式	收敛域
线性	$$\begin{gathered} x[n]\stackrel{z}{⟷}X(z),ROC=R_x \\ y[n]\stackrel{z}{⟷}Y(z),ROC=R_y \\ ax[n]+by[n]\stackrel{z}{⟷}aX(z)+bY(z) \end{gathered}$$	$ROC包含R_x\cap R_y$
移位	$$\begin{gathered} x[n]\stackrel{z}{⟷}X(z),ROC=R_x \\ x[n-n_d]\stackrel{z}{⟷}{z}^{-nd}X(z) \end{gathered}$$	$ROC=Rx$(可能需要重新定义极点)
指数序列相乘	$$\begin{gathered} x[n]\stackrel{z}{⟷}X(z),ROC=R_x \\ {z}_0^{n}x[n]\stackrel{z}{⟷}X(z/z_0) \end{gathered}$$	$ROC=|z_0|R_x$
微分	$$\begin{gathered} x[n]\stackrel{z}{⟷}X(z),ROC=R_x \\ nx[n]\stackrel{z}{⟷}-z\frac{dX(z)}{dz} \end{gathered}$$	$ROC=R_x$(时间序列乘以 $n$ 对应于 Z 域的微分)
共轭	$$\begin{gathered} x[n]\stackrel{z}{⟷}X(z),ROC=R_x \\ {x}^{\ast }[n]\stackrel{z}{⟷}{X}^{\ast }(z^{\ast }) \end{gathered}$$	$ROC=R_x$
时间倒置共轭	$$\begin{gathered} x[n]\stackrel{z}{⟷}X(z),ROC=R_x \\ {x}^{\ast }[-n]\stackrel{z}{⟷}{X}^{\ast }(\frac{1}{z^{\ast }}) \end{gathered}$$	$ROC=\frac{1}{R_x}$
卷积	$$\begin{gathered} x[n]\stackrel{z}{⟷}X(z),ROC=R_x \\ h[n]\stackrel{z}{⟷}H(z),ROC=R_h \\ \sum _{k=0}^{\infty }x[k]h[n-k]\stackrel{z}{⟷}X(z)H(z) \end{gathered}$$	$ROC包含R_x\cap R_y$

2.定理

• 初值定理：
  如果$x[n]$是因果序列，即$n<0,x[n]=0$，则$x[0]={\lim }_{z\to \infty }X(z)$

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总结

本文通过图像和公式推导结合的方式来介绍了Z变换的公式和收敛域，其中由于篇幅（已经万字）的原因，并没有对Z变换的性质与定理做详细的推导，实际上在之前的DTFT性质推导中也有过介绍，虽然不相同但是思路是一样的。有兴趣的同学可以自己尝试一下。

本篇中对于给出的Z反变换没有过多的介绍，那下一篇文章将会对于Z反变换做详细的介绍，并结合实例加深对于Z变换的理解。

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