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机械臂运动学笔记（一）：正向运动学

article 2026/4/23 17:25:16

正向运动学指的是通过相邻关节间的转动和移动坐标，将末端的坐标计算出来。

反向运动学指的是已知机械臂末端的坐标，反算每个关节可能的转动和移动参数。

参考资料：4.机械臂几何法与DH表示法_哔哩哔哩_bilibili

一.任意连杆连接的变量定义（Craig DH）

假设对于任意轴，只存在转动或移动。

对于任意多个轴连接，相邻两个轴之间，其连杆（绿色），轴的夹角（橙色），连杆的偏距（紫色），关节角（红色）如下图所示。

其方向为X轴沿着连杆方向，Y轴为右手定则方向,Z轴为旋转方向右手定则指向的大拇指方向

多杆连接时，一共有四个参数( $\alpha _{i-1}$ , $a _{i-1}$ , $d _{i}$ ， $\theta _{i}$ ）

$\alpha _{i-1}$ ：表示从第frame_i-1坐标系的 $X _{i-1}$ 轴向其坐标系原点看过去， $Z_{i}$ 轴相对于 $Z _{i-1}$ 轴的旋转角度，若为顺时针 $K _{i}$ 度，则 $\alpha _{i-1}$ = $-K _{i}$ （顺时针为负，逆时针为正）

$a _{i-1}$ ：表示沿着第frame_i-1坐标系的 $X _{i-1}$ 轴方向，两个坐标系原点发生位移量为L，则 $a _{i-1}$ =L

$d _{i}$ ：表示沿着第frame_i坐标系的 $Z_{i}$ 轴方向，两个坐标系的原点发生了d的位移，则 $d _{i}$ =d

$\theta _{i}$ :从第frame_i坐标系的 $Z_{i}$ 轴向其坐标原点看过去， $X _{i}$ 轴相较于 $X _{i-1}$ 轴顺时针旋转 $M_{i}$ 度， $\theta _{i}$ = $-M_{i}$ （顺时针为负，逆时针为正）

二.不同坐标系间的坐标变换

对于两个坐标系间的坐标变换，存在：点Pa为A系下的坐标，若要变成B系，则=R+=，其中为A系到B系的变换矩阵；相当于A系在B系中的位姿坐标；相当于B系经过平移旋转和A系重合时，该平移旋转的组成为变换矩阵

那么对于两个轴之间的坐标转换，若要将第i个坐标系的点 $P_{i}$ 转换到i-1坐标系下 $P_{i-1}$ ，其变换矩阵相当于第i-1个坐标系，经过变换矩阵 $T^{_{i}^{i-1}}$ （一系列旋转平移）变成第i个坐标系。那么这一系列变换可分为连续的四个步骤，1）先将i-1坐标系经过 $a _{i-1}$ 旋转变为R坐标系，使得i-1坐标系与i坐标系的Z轴平行。2）将R系经过 $a _{i-1}$ 平移变成Q坐标系，使得i-1坐标系与i坐标系的原点的X,Y坐标相同

3）将Q坐标系经过 $\theta _{i}$ 的旋转变为P坐标系，使得i-1坐标系与i坐标系姿态完全相同

4）将P坐标系经过 $d _{i}$ 平移，使得i-1坐标系与i坐标系位置完全相同

三.通用的变换矩阵计算

按照上述的变换方式，计算变换矩阵如下：

四：例1：对于RRR（3转轴）平面机械臂

平面机械臂：其Z轴互相平行，则所有的Z轴夹角=0；其连杆都在同一平面上，连杆的偏距=0；

地杆frame0坐标系不动（可理解为基座标），其坐标原点与第一个杆坐标系重合，沿着X0方向，两个坐标系的位移为0，故=0,转角=

机械臂末端（爪子），相对于最后一个坐标系frame3的坐标为(L3,0,0)

将上述的四个参数代入通用表达式，可以得到对应的变换矩阵。

五.例2：RRR非平面三转轴机械臂

其Z轴和X轴各有两种选择方案，共有四种选择方案

以第一种为例：

图中，以i=2为例，即2轴与1轴的坐标系转换关系

:从第frame_1坐标系的X1向其坐标系原点看过去，Z2相对于Z1的旋转角度为顺时针90度，则=-90

:沿着第frame_1坐标系的X1方向，两个坐标系原点未发生位移，则=0

:沿着第frame_2坐标系的Z2方向，两个坐标系的原点发生了L1的位移，则=L1

：从第frame_2坐标系的Z2向其坐标原点看过去，X2轴相较于X1轴顺时针旋转90度，

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