2.【线性代数】——矩阵消元

1. 消元法

求解方程组
$$\{\begin{array}{l}x+2y+z=2\\ 3x+8y+z=12\\ 4y+z=2\end{array}$$

可设
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}2\\ 12\\ 2\end{array}\right]。那么方程组可以写为\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 12\\ 2\end{array}\right]$$
矩阵消元的过程如下
$$\underset{\text{增广矩阵[A|b]}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}\boxed{1}& 2& 1& 2\\ 3& 8& 1& 12\\ 0& 4& 1& 2\end{array}\right]}}\stackrel{ro{w}_2-3ro{w}_1}{\Rightarrow }\left[\begin{array}{cccc}\boxed{1}& 2& 1& 2\\ 0& \boxed{2}& -2& 6\\ 0& 4& 1& 2\end{array}\right]\stackrel{ro{w}_3-2ro{w}_2}{\Rightarrow }\left[\begin{array}{cccc}\boxed{1}& 2& 1& 2\\ 0& \boxed{2}& -2& 6\\ 0& 0& \boxed{5}& -10\end{array}\right]$$

其中，框住的数，为主元。

回代，得到方程组
$$\{\begin{array}{l}x+2y+z=2\\ 2y-2z=6\\ 5z=-10\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\\ z=-2\end{array}$$

2. 单行或者单列的矩阵乘法

2.1 单行矩阵乘法

$$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}ro{w}_{11}& ro{w}_{12}& ro{w}_{13}\\ ro{w}_{21}& ro{w}_{22}& ro{w}_{23}\\ ro{w}_{31}& ro{w}_{32}& ro{w}_{33}\end{array}\right]=a\ast ro{w}_1+b\ast ro{w}_2+c\ast ro{w}_3$$

2.2 单列矩阵乘法

$$\left[\begin{array}{ccc}co{l}_{11}& co{l}_{21}& co{l}_{31}\\ co{l}_{12}& co{l}_{22}& co{l}_{32}\\ co{l}_{13}& co{l}_{23}& co{l}_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]=a\ast co{l}_1+b\ast co{l}_2+c\ast co{l}_3$$

3. 用矩阵记录消元过程（初等矩阵） 【行的线性组合（数乘和加法）】

3.1 row2-3row1的矩阵描述

$$\underset{E_{21}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}}\underset{\text{A}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}\boxed{1}& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]}}=\left[\begin{array}{ccc}\boxed{1}& 2& 1\\ 0& \boxed{2}& -2\\ 0& 4& 1\end{array}\right]$$

3.2 row3-2row2的矩阵描述

$$\underset{E_{32}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{ccc}\boxed{1}& 2& 1\\ 0& \boxed{2}& -2\\ 0& 4& 1\end{array}\right]=\underset{\text{U}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}\boxed{1}& 2& 1\\ 0& \boxed{2}& -2\\ 0& 0& \boxed{5}\end{array}\right]}}$$
其中 E矩阵，称为初等矩阵。经EA=U,其中U为上三角矩阵。

3.3 矩阵乘法的性质

结合律
$$E_{32}(E_{21}A)=U,(E_{32}{E}_{21})A=U$$
分配率
$$A(B+C)=AB+BC$$

不满足交换律 $$AB\ne BA$$

4. 用矩阵记录消元过程（置换矩阵） 行列交换

4.1 行交换

$$\underset{\text{置换矩阵}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right]$$

4.1 列交换

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\underset{\text{置换矩阵}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}}=\left[\begin{array}{cc}b& a\\ d& c\end{array}\right]$$

5. 逆矩阵

row2-3row1的逆操作是3row1+row2
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\underset{I}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}}$$
$$E^{-1}E=I$$