6.【线性代数】—— 列空间和零空间

1. 列空间 C(A)

$$\underset{A}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}co{l}_{11}& co{l}_{21}& co{l}_{31}\\ co{l}_{12}& co{l}_{22}& co{l}_{32}\\ co{l}_{13}& co{l}_{23}& co{l}_{33}\end{array}\right]}}\underset{x}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]}}=a\ast co{l}_1+b\ast co{l}_2+c\ast co{l}_3$$
将矩阵的每一列，看成一个向量，他们的所有线性组合（数乘和加法）在一个子空间中，这个子空间，记为 C(A)，即A的列空间。

与Ax=b联系，对于每一个b都有解吗？
不是，当b在矩阵A的列空间中，有解。

线性无关：无法通过数乘和加法，计算出其他的向量。

2. 零空间 N(A)

2.1 定义

矩阵A的零空间 ：满足 Ax =0 的所有向量。
举例：
$$\underset{A}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]}}\underset{x}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]}}=0$$
$$\begin{array}{rl}x& =\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right]...\\ & =c\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right]\end{array}$$

因为矩阵A中，前两列之和=第三列。

2.2 为什么零空间是一个子空间？

$Ax=0，已知v和w在零空间中，那么Av=0,Aw=0$
验证向量空间的性质，1. 包含零向量，很明显零向量，满足$Ax=0$。 2. 加法和数乘都在空间中(加法和数乘组成的线性空间)。
$$\begin{gathered} A(cv)=cAv=0 \\ A(dw)=dAw=0 \\ A(cv+dw)=Acv+Adw=0 \end{gathered}$$

$c,d$为常数

2.3 Ax=b的解空间，是一个子空间吗？

不是，不含有零向量。