等距节点插值公式

等距节点插值公式

将 Newton 差商插值多项式中各阶差商用相应差分代替，就可得到各种形式的等距节点插值公式，例如常用的前插公式与后插公式。

Newton 前插公式

如果节点$x_k=x_0+kh(k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,n)$,要计算$x_0$附近点$x$的函数$f(x)$的值，可令 $x=x_0+th$ ，$0⩽t⩽1$，于是

$${\omega }_{k+1}(x)=\prod _{j=0}^k(x-x_j)=t(t-1)\cdot \cdot \cdot (t-k)h^{k+1}.$$

代入Newton插值公式，则有
$$N_n(x_0+th)=f_0+t\Delta f_0+\frac{t(t-1)}{2!}{\Delta }^2{f}_0+\cdots +\frac{t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}{\Delta }^n{f}_0.$$

上式称为 Newton 前插公式，其余项为

$$R_n(x)=\frac{t(t-1)\cdots (t-n)}{(n+1)!}{h}^{n+1}{f}^{(n+1)}(\xi ),\xi \in (x_0,x_n).$$

Newton 后插公式

如果要求表示函数在$x_n$附近的值$f(x)$,应用 Newton 插值公式,插值点应按$x_n,x_{n-1},\cdot \cdot \cdot ,x_0$的次序排列，有

$$N_n(x)=f(x_n)+f[x_n,x_{n-1}](x-x_n)+f[x_n,x_{n-1},x_{n-2}](x-x_n)(x-x_{n-1})+\cdots +f[x_n,x_{n-1},\cdot \cdot \cdot ,x_0](x-x_n)•\cdot \cdot (x-x_1).$$

作变换 $x=x_n+th$ $(-1⩽t⩽0)$,代入上式得

$$\begin{array}{rl}{N}_n(x_n+th)& =f_n+t\nabla f_n+\frac{t(t+1)}{2!}{\nabla }^2{f}_n+\cdots +\frac{t(t+1)\cdots (t+n-1)}{n!}{\nabla }^n{f}_n.\end{array}$$

上式称为 Newton 后插公式，其余项为

$$R_n(x)=f(x)-N_n(x_n+th)=\frac{t(t+1)\cdots (t+n)h^{n+1}{f}^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!},\xi \in (x_0,x_n).$$