趣味数学300题1981版-八个等式、五个5等于24

八个等式

分析：此问题的求解思路是按照最后一步运算的运算符号进行分类。示例中最后一步的运算是除法，只要被除数与除数相等且不为0，就可以得到结果1.因此我们还可以对于结果等于1的情况列出其他的算式。如果保持最后一步运算为除法运算，还可以列出：

(4 × 4) ÷ (4 × 4) = 1

(4 ÷ 4) ÷ (4 ÷ 4) = 1

我们还可以调整最后一步运算两侧的操作数4的数量：

(4 － 4 ＋ 4) ÷ 4 = 1，或(4 ＋ 4 － 4) ÷ 4 = 1，或4÷ (4 － 4 ＋ 4) = 1，或4÷(4 ＋ 4 － 4) = 1，本质上都是一样的，最后一步都是4 ÷ 4。

(4 ÷ 4 × 4) ÷ 4 = 1，或(4 × 4 ÷ 4) ÷ 4 = 1，4 ÷ (4 ÷ 4 × 4) = 1，或4 ÷ (4 × 4 ÷ 4) = 1，本质上也是一样的，最后一步都是4 ÷ 4。

如果最后一步是乘法：若两个自然数相乘结果为1，只可能是1*1：

(4 ÷ 4) × (4 ÷ 4) = 1

如果考虑分数运算，还可以是4 × (4 ÷ 4 ÷ 4) = 1，最后一步是4 × 1/4

如果最后一步是加法，则最后一步运算是0+1：(4 - 4) + (4 ÷ 4) = 1

如果最后一步是减法，则最后一步运算是1-0：(4 ÷ 4) -(4 - 4)= 1

最后一步运算是4-3：4 - (4 - (4 ÷ 4) )= 1

通过上述分析可知，本题的求解思路为分类讨论，先根据最后一步运算的符号进行分类，再根据最后一步的算式分类，并且需要舍弃一些无法构造出来的算式，比如结果为1时，如果最后一步是减法，并且想构造最后一步运算是2-1，是构造不出来的。

依据此思路列出结果为2~9的算式。4个4可构造出的负数、分数并不多，为简单起见不考虑中间结果是负数、分数的情况。舍弃的情况不列出。

结果为2

最后一步是加法

• 最后一步是1+1

(4 ÷ 4) + (4 ÷ 4) = 2

最后一步是减法

• 最后一步是4-2:

4 - ((4 + 4) ÷ 4) = 2

最后一步是除法

• 最后一步是4÷2:

4÷((4 + 4) ÷ 4) = 2

• 最后一步是16÷8:

(4 × 4) ÷ (4 + 4) = 2

结果为3

最后一步是除法

• 最后一步是12/4:

 (4 ＋ 4 ＋ 4) ÷ 4= 3

(4 × 4 - 4) ÷ 4= 3

结果为4

最后一步是加法

• 最后一步是0+4

 ((4 - 4) × 4) + 4= 4

最后一步是减法

• 最后一步是4-0

4 - ((4 - 4) × 4) = 4

结果为5

最后一步是除法

• 最后一步是20/4:

(4 × 4 + 4) ÷ 4= 5

结果为6

最后一步是加法

• 最后一步是2+4

((4 + 4) ÷ 4) + 4= 6

结果为7

最后一步是加法

• 最后一步是3+4

(4 - (4 ÷ 4) )+ 4= 7

最后一步是减法

• 最后一步是8-1

4 +4 - 4÷4= 7

结果为8

最后一步是加法

• 最后一步是0+8

(4-4) + (4+4)= 8

• 最后一步是4+4

4-4 + 4+4= 8

4×4 ÷4 +4= 8

最后一步是减法

• 最后一步是8-0

(4+4) - (4-4)= 8

• 最后一步是12-4

4+4+4-4=8

4×4-4-4=8

• 最后一步是16-8

(4×4) - (4+4)= 8

最后一步是乘法

• 最后一步是1×8

(4÷4) × (4+4)= 8

最后一步是除法

• 最后一步是8÷1

(4+4)÷(4÷4) = 8

结果为9

最后一步是加法

• 最后一步是8+1

4+4+(4÷4) =9

• 最后一步是5+4

(4+(4÷4))+4 =9

五个5等于24

分析：此问题的分析思路还是按最后一步运算来分类讨论。依题意，最后一步可能是减法、乘法、除法。然后还可根据最后一步的运算符两侧的5的数量来分类。如果最后一步的运算符一边是4个5，一边是1个5，相对简单，先看一下这种情况。

最后一步是减法

算式为29-5,4个5在不用加法的情况下能否凑出29呢？似乎不行。

最后一步是乘法

算式为4.8*5，可列出

(5－5÷5÷5)× 5=24

最后一步是除法

算式为120÷5，可列出

(5×5×5－5)÷ 5=24，但过程中未出现小数。