姿态矩阵/旋转矩阵/反对称阵

物理意义，端点矢量=角速率叉乘本身向量；
负号是动系b看固定系i是相反的；

一个固定
在惯性导航解算中，旋转矢量的叉乘用于描述姿态矩阵的微分方程。你提到的公式中，${\mathbf{\omega }}_{ib}^b\times$表示的是一个向量叉乘的矩阵形式，通常称为叉乘矩阵或反对称矩阵。以下是详细的解释和计算规则：

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1. 叉乘矩阵的定义

对于任意三维向量 $\mathbf{\omega }=[{\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z{]}^T$，其叉乘矩阵$\mathbf{\omega }\times$定义为：
$$\mathbf{\omega }\times =\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_z& {\omega }_y\\ {\omega }_z& 0& -{\omega }_x\\ -{\omega }_y& {\omega }_x& 0\end{array}\right)$$

这个矩阵的作用是将向量 $\mathbf{\omega }$的叉乘运算转化为矩阵乘法运算。对于任意向量$\mathbf{r}$，有：
$$\mathbf{\omega }\times \mathbf{r}=\mathbf{\omega }\times \mathbf{r}$$

2. 姿态矩阵微分方程的推导

在惯性导航中，姿态矩阵 ${\mathbf{C}}_b^i$ 表示从载体坐标系($b$ 系）到惯性坐标系（$i$ 系）的旋转矩阵。其微分方程为：
$${\dot{\mathbf{C}}}_b^i={\mathbf{C}}_b^i({\mathbf{\omega }}_{ib}^b\times )$$
其中：

• ${\mathbf{\omega }}_{ib}^b$ 是载体相对于惯性系的角速度，在载体坐标系($b$ 系）下表示。
• ${\mathbf{\omega }}_{ib}^b\times$ 是角速度向量 ${\mathbf{\omega }}_{ib}^b$的叉乘矩阵。

3. 叉乘矩阵的作用

叉乘矩阵 ${\mathbf{\omega }}_{ib}^b\times$ 的作用是将角速度向量 ${\mathbf{\omega }}_{ib}^b$的叉乘运算转化为矩阵乘法运算。具体来说：

• 对于任意向量 ${\mathbf{r}}^b$，有：
  $${\mathbf{\omega }}_{ib}^b\times {\mathbf{r}}^b={\mathbf{\omega }}_{ib}^b\times {\mathbf{r}}^b$$
• 对于矩阵 ${\mathbf{C}}_b^i$，有：
  $${\dot{\mathbf{C}}}_b^i={\mathbf{C}}_b^i({\mathbf{\omega }}_{ib}^b\times )$$

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4. 具体计算规则

假设角速度向量 ${\mathbf{\omega }}_{ib}^b=[{\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z{]}^T$，则其叉乘矩阵为：
$${\mathbf{\omega }}_{ib}^b\times =\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_z& {\omega }_y\\ {\omega }_z& 0& -{\omega }_x\\ -{\omega }_y& {\omega }_x& 0\end{array}\right)$$

姿态矩阵 ${\mathbf{C}}_b^i$的微分方程为：
$${\dot{\mathbf{C}}}_b^i={\mathbf{C}}_b^i\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_z& {\omega }_y\\ {\omega }_z& 0& -{\omega }_x\\ -{\omega }_y& {\omega }_x& 0\end{array}\right)$$

具体计算时，${\dot{\mathbf{C}}}_b^i$的每一列是 ${\mathbf{C}}_b^i$的对应列与叉乘矩阵的乘积。

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5. 示例

假设：
$${\mathbf{\omega }}_{ib}^b=\left(\begin{array}{c}{\omega }_x\\ {\omega }_y\\ {\omega }_z\end{array}\right),{\mathbf{C}}_b^i=\left(\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right)$$

则：
$${\dot{\mathbf{C}}}_b^i={\mathbf{C}}_b^i\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_z& {\omega }_y\\ {\omega }_z& 0& -{\omega }_x\\ -{\omega }_y& {\omega }_x& 0\end{array}\right)$$

计算结果为：
$${\dot{\mathbf{C}}}_b^i=\left(\begin{array}{ccc}{c}_{11}\cdot 0+c_{12}\cdot {\omega }_z+c_{13}\cdot (-{\omega }_y)& c_{11}\cdot (-{\omega }_z)+c_{12}\cdot 0+c_{13}\cdot {\omega }_x& c_{11}\cdot {\omega }_y+c_{12}\cdot (-{\omega }_x)+c_{13}\cdot 0\\ c_{21}\cdot 0+c_{22}\cdot {\omega }_z+c_{23}\cdot (-{\omega }_y)& c_{21}\cdot (-{\omega }_z)+c_{22}\cdot 0+c_{23}\cdot {\omega }_x& c_{21}\cdot {\omega }_y+c_{22}\cdot (-{\omega }_x)+c_{23}\cdot 0\\ c_{31}\cdot 0+c_{32}\cdot {\omega }_z+c_{33}\cdot (-{\omega }_y)& c_{31}\cdot (-{\omega }_z)+c_{32}\cdot 0+c_{33}\cdot {\omega }_x& c_{31}\cdot {\omega }_y+c_{32}\cdot (-{\omega }_x)+c_{33}\cdot 0\end{array}\right)$$

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6. 物理意义

• 叉乘矩阵 $${\mathbf{\omega }}_{ib}^b\times$$ 描述了载体坐标系相对于惯性坐标系的旋转速率。
• 姿态矩阵微分方程 $${\dot{\mathbf{C}}}_b^i={\mathbf{C}}_b^i({\mathbf{\omega }}_{ib}^b\times )$$描述了姿态矩阵随时间的变化率。

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总结

在惯性导航解算中，叉乘矩阵${\mathbf{\omega }}_{ib}^b\times$是将角速度向量${\mathbf{\omega }}_{ib}^b$ 的叉乘运算转化为矩阵乘法运算的工具。通过姿态矩阵微分方程，可以实时更新姿态矩阵 ${\mathbf{C}}_b^i$，从而解算载体的姿态变化。