力扣热题 100：多维动态规划专题经典题解析

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力扣热题 100：多维动态规划专题经典题解析
力扣热题 100：技巧专题经典题解析

在力扣（LeetCode）平台上，多维动态规划相关的题目是算法面试和练习中的重要部分。今天，我们就来详细解析多维动态规划专题中的几道经典题目，帮助大家更好地理解解题思路和技巧。

一、不同路径（题目 62）

1. 题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角，只能向下或向右移动，求到达右下角的不同路径数。

2. 示例

示例 1：

输入：m = 3, n = 2

输出：3

3. 解题思路

这道题主要考察二维动态规划的应用。我们可以使用一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示到达位置 (i, j) 的不同路径数。状态转移方程为 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。

4. 代码实现（Java）

public class Solution {public int uniquePaths(int m, int n) {int[][] dp = new int[m][n];for (int i = 0; i < m; i++) {dp[i][0] = 1;}for (int j = 0; j < n; j++) {dp[0][j] = 1;}for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];}}return dp[m-1][n-1];}
}

5. 复杂度分析

• 时间复杂度 ：O(m * n)，需要遍历整个网格。
• 空间复杂度 ：O(m * n)，需要使用二维数组存储路径数。可以优化为 O(n) 空间，使用一维数组滚动更新。

二、最小路径和（题目 64）

1. 题目描述

给定一个 m x n 的网格 grid，其中每个单元格包含一个非负整数，求从左上角到右下角的最小路径和。

2. 示例

示例 1：

输入：grid = [[1, 3, 1], [1, 5, 1], [4, 2, 1]]

输出：7

3. 解题思路

这道题主要考察二维动态规划的应用。我们可以使用一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示到达位置 (i, j) 的最小路径和。状态转移方程为 dp[i][j] = grid[i][j] + Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

4. 代码实现（Java）

public class Solution {public int minPathSum(int[][] grid) {int m = grid.length;int n = grid[0].length;int[][] dp = new int[m][n];dp[0][0] = grid[0][0];for (int i = 1; i < m; i++) {dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];}for (int j = 1; j < n; j++) {dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];}for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {dp[i][j] = grid[i][j] + Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);}}return dp[m-1][n-1];}
}

5. 复杂度分析

• 时间复杂度 ：O(m * n)，需要遍历整个网格。
• 空间复杂度 ：O(m * n)，需要使用二维数组存储路径和。可以优化为 O(n) 空间，使用一维数组滚动更新。

三、最长回文子串（题目 5）

1. 题目描述

给定一个字符串 s，找到其中最长的回文子串。

2. 示例

示例 1：

输入：s = "babad"

输出："bab"

3. 解题思路

这道题主要考察二维动态规划的应用。我们可以使用一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示子串 s[i..j] 是否为回文子串。状态转移方程为 dp[i][j] = (s[i] == s[j]) && dp[i+1][j-1]。

4. 代码实现（Java）

public class Solution {public String longestPalindrome(String s) {int n = s.length();boolean[][] dp = new boolean[n][n];String result = "";for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {for (int j = i; j < n; j++) {if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {if (j - i <= 1) {dp[i][j] = true;} else {dp[i][j] = dp[i+1][j-1];}if (dp[i][j] && j - i + 1 > result.length()) {result = s.substring(i, j + 1);}}}}return result;}
}

5. 复杂度分析

• 时间复杂度 ：O(n^2)，需要遍历所有可能的子串。
• 空间复杂度 ：O(n^2)，需要使用二维数组存储回文状态。

四、最长公共子序列（题目 1143）

1. 题目描述

给定两个字符串 text1 和 text2，求它们的最长公共子序列的长度。

2. 示例

示例 1：

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"

输出：3

3. 解题思路

这道题主要考察二维动态规划的应用。我们可以使用一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示 text1 的前 i 个字符和 text2 的前 j 个字符的最长公共子序列长度。状态转移方程为：

• 如果 text1[i-1] == text2[j-1]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
• 否则，dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

4. 代码实现（Java）

public class Solution {public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {int m = text1.length();int n = text2.length();int[][] dp = new int[m+1][n+1];for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {if (text1.charAt(i-1) == text2.charAt(j-1)) {dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;} else {dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);}}}return dp[m][n];}
}

5. 复杂度分析

• 时间复杂度 ：O(m * n)，需要遍历两个字符串的所有字符组合。
• 空间复杂度 ：O(m * n)，需要使用二维数组存储最长公共子序列长度。可以优化为 O(min(m, n)) 空间，使用一维数组滚动更新。

五、编辑距离（题目 72）

1. 题目描述

给定两个字符串 word1 和 word2，求将 word1 转换为 word2 所需的最少操作数。允许的操作包括插入、删除和替换。

2. 示例

示例 1：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"

输出：3

3. 解题思路

这道题主要考察二维动态规划的应用。我们可以使用一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示将 word1 的前 i 个字符转换为 word2 的前 j 个字符所需的最少操作数。状态转移方程为：

• 如果 word1[i-1] == word2[j-1]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。
• 否则，dp[i][j] = 1 + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1])。

4. 代码实现（Java）

public class Solution {public int minDistance(String word1, String word2) {int m = word1.length();int n = word2.length();int[][] dp = new int[m+1][n+1];for (int i = 0; i <= m; i++) {dp[i][0] = i;}for (int j = 0; j <= n; j++) {dp[0][j] = j;}for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {if (word1.charAt(i-1) == word2.charAt(j-1)) {dp[i][j] = dp[i-1][j-1];} else {dp[i][j] = 1 + Math.min(Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), dp[i-1][j-1]);}}}return dp[m][n];}
}

5. 复杂度分析

• 时间复杂度 ：O(m * n)，需要遍历两个字符串的所有字符组合。
• 空间复杂度 ：O(m * n)，需要使用二维数组存储操作数。可以优化为 O(min(m, n)) 空间，使用一维数组滚动更新。

以上就是力扣热题 100 中与多维动态规划相关的经典题目的详细解析，希望对大家有所帮助。在实际刷题过程中，建议大家多动手实践，理解解题思路的本质，这样才能更好地应对各种算法问题。