蓝桥杯————23年省赛 ——————平方差

3.平方差 - 蓝桥云课

一开始看题我还没有意识到问题的严重性

我丢，我想 的是用两层循环来做，后来我试了一下最坏情况，也就是l=1 r = 1000000000

结果运行半天没运行出来，我就知道坏了，孩子们，要出事，结果又试了一下l = 1 r=1000 

结果很快就出来了，我把r改成了10000 也出来了，改成1000000的时候就半天也算不出来，超级超时
 

package xunhuan;import java.util.Map;
import java.util.Scanner;/*** @author zb* date2025/3/17 15:57*/
public class L3502 {public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);int l = in.nextInt();int r = in.nextInt();
//        统计满足条件的个数int cnt =0 ;//        ijk分别代表三个数xyzfor (int i = 0; i <=r ; i++) {for (int j = i; j <=r ; j++) {long sum = (long) (j-i)*(j+i);
//                    如果这个差值在l r的范围内就++if(sum>=l&&sum<=r){
//                    System.out.println(i);
//                    System.out.println(j);cnt++;}}}System.out.println(cnt);in.close();;}
}

奇怪的是一个点没有通过，真的有点奇怪呀，去看一下解析，我丢

去b站看了一下[蓝桥杯]真题讲解：平方差 （打表+数学）_哔哩哔哩_bilibili这个视频

我丢，我没有意识到 如果输入的数据1e9 意味着即使输出的复杂度为o(n也会超时)

所以要么用O(logn)复杂度输出要么用O(1)复杂度来解决，

O（1）的复杂度只能是你找到数学规律，也就是直接套公式得出答案

而O(logn)的话就只能通过降低复杂度来实现

这道题考察的是数学，直接枚举找规律，也叫打表

就是我先计算100以内的等于两个数的平方差的数有那些，下面用Java来实现

利用treeMap来实现便利100以内的等于两数平方差的数有那些，然后总结规律

package xunhuan;import java.util.Map;
import java.util.Scanner;
import java.util.TreeMap;/*** @author zb* date2025/3/17 15:57*/
public class L3502 {public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);//        int l = in.nextInt();
//        int r = in.nextInt();
//        统计满足条件的个数int cnt =0 ;Map<Integer,Integer> mp = new TreeMap<>();
//        ijk分别代表三个数xyzfor (int i = 1; i <=100 ; i++) {for (int j = 0; j <=100 ; j++) {int sum = i*i - j* j;
//                    如果这个差值在l r的范围内就++for (int k = 0; k <=100 ; k++) {if(sum==k){
//                        if(k%2==0){mp.put(k,0);
//                        }//                        if(mp){
//
//                            System.out.println(sum);
//                        }}}}}for (int key :mp.keySet()) {System.out.println(key);}
//        System.out.println(cnt);in.close();;}
}

得到之后，我们发现，欸，好像奇数全都是，再看一下偶数，看偶数的话就把这里的注释去掉就行

偶数如图所示

你发现了什么是不是每一个偶数都是4的倍数（包括0）

你要是不信的话再试一下奇数如图所示

所以我们可以得出范围[l,r]之内的所有的奇数和4的倍数都是满足条件的

我们总结一下

区间【1，r】的奇数个数和偶数个数，因为l,r>=1

奇数：比如【1，3】 奇数 1  3 两个

【1，2】奇数个数1， 一个

是不是恰好等于（1+r）/2 不信的话再试一下

这里也可以理解为上取整

偶数个数的话：

【1，7】是不是只有一个数 是4 

所以偶数个数是r/4

[1,r]的满足条件的个数为（r/4+(1+r)/2）

区间【1，l-1】的话是不是也是同理 ,奇数的个数直接把r换成l就行了4 的倍数不能动

【1，l-1】中满足条件的个数为((l)/4+(1+l-1)/2)

那么区间【l,r】之间的满足条件的个数是不是就等于区间【1，r】上面满足条件的个数减去【1，l-1】区间满足条件的个数

ok话不多上，我们直接整活儿

import java.util.Map;
import java.util.Scanner;
import java.util.TreeMap;/*** @author zb* date2025/3/17 15:57*/
public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner in =new Scanner(System.in);int l = in.nextInt();int r = in.nextInt();
//        [1,r]之间的等于平方差的数字的个数 -[1,l-1]之间的等于平方差的数字的个数int sum =  (1+r)/2+r/4 -((l)/2+l/4);System.out.println(sum);in.close();}
}

不好，孩子们，有一个点没过，不知道为啥

弄明白了

因为我们要求的是[1,l-1]之间的满足条件的偶数数量 应该是(l-1)/4而不是l/4

改不对了，我快疯了，啊啊啊啊

不是我想不明白为啥要改成long 啊，10的9次方int接收不了吗好逆天呀，这道题，我快疯了

package xunhuan;import java.util.Map;
import java.util.Scanner;
import java.util.TreeMap;/*** @author zb* date2025/3/17 15:57*/
public class L3502 {public static void main(String[] args) {Scanner in =new Scanner(System.in);Long l = in.nextLong();Long r = in.nextLong();
//        [1,r]之间的等于平方差的数字的个数 -[1,l-1]之间的等于平方差的数字的个数Long num1 = (1+r)/2 -l/2;Long num2 = r/4 - (l-1)/4 ;System.out.println(num1+num2);in.close();}
}

整了我快3个小时了

在 Java 中，int 类型的最大值是 2^31-1 = 2,147,483,647。当输入的 R 接近或超过 1e9 时，虽然 R 本身小于 int 的最大值，但中间运算可能导致溢出。以下是关键分析：

1. 当 R 接近 int 最大值时的溢出问题

假设 R = 2,147,483,647（即 int 的最大值）：

int R = 2_147_483_647;
int term = (R + 1) / 2;  // R+1 = -2,147,483,648（溢出为负数）

2. 中间运算的溢出风险

在计算奇数的公式 (R + 1) / 2 - L / 2 中：

• 如果 R 接近 int 最大值，R + 1 会溢出到负数范围。
• 例如：

int R = 1_500_000_000;  // 1.5e9
int term = (R + 1) / 2;  // 750,000,000.5 → 取整为 750,000,000

3. 为何输入范围是 1e9 时仍可能出错？

题目规定输入 L 和 R 的范围是 [1, 1e9]，而 1e9 远小于 int 的最大值 2,147,483,647。因此，理论上 int 足够存储输入值。但若代码中有其他操作（如中间运算或错误处理），可能导致意外溢出。

5. 总结

数据类型	优点	缺点
int	节省内存	中间运算可能溢出
long	避免溢出	内存占用略高

• 推荐使用 long：虽然题目输入范围在 int 内，但使用 long 更安全，避免潜在边界问题。
• 关键原则：在涉及大数运算时，优先使用 long 或 BigInteger。