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MATLAB 控制系统设计与仿真 - 27

article 2026/3/8 0:42:24

状态空间的标准型

传递函数和状态空间可以相互转换，接下来会举例如何有传递函数转成状态空间标准型。

对角标准型

当 G(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{b_2s^2+b_1s+b_0}{s^3+a_2s^2+a_1s+a_0} 

G(s)可以写成：

G(S)=\frac{k_1}{s-p_1}+\frac{k_1}{s-p_2}+\frac{k_3}{s-p_3}, p_1\neq p_2\neq p_3

即：

根据上图可知：

A=\begin{bmatrix} p_1 & 0 & 0\\ 0& p_2 & 0\\ 0 & 0 & p_3 \end{bmatrix} , B=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} , C=\begin{bmatrix} k_1 &k_2 &k_3 \end{bmatrix} , D=0

约当标准型

当 G(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{b_2s^2+b_1s+b_0}{s^3+a_2s^2+a_1s+a_0}

G(s)可以写成：

G(s)=\frac{k_1}{s-p_1}+\frac{k_2}{(s-p_m)^2}+\frac{k_3}{s-p_m}

即：

根据上图可知：

A=\begin{bmatrix} p_1 & 0 & 0\\ 0& p_m & 1\\ 0 & 0 & p_m \end{bmatrix} , B=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} , C=\begin{bmatrix} k_1 &k_2 &k_3 \end{bmatrix} , D=0

能控标准型

当传递函数：Y(s)=\frac{1}{s^3+a_2s^2+a_1s+a_0}U(s)时，

Y(s)(s^3+a_2s^2+a_1s+a_0)=U(s)

\dddot{y}+a_2\ddot{y}+a_1\dot{y}+y=u\\ y=-\dddot{y}-a_2\ddot{y}-a_1\dot{y}+u

如果：x_1=y,x_2=\dot{x_1}=\dot{y},x_3=\dot{x_2}=\ddot{y}

\begin{bmatrix} \dot{x_1}\\ \dot{x_2}\\ \dot{x_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1\\ -a_0& -a_1 & -a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}u

y=\begin{bmatrix} 1 &0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}

如果传递函数是一般形式如下：

Y(s)=\frac{b_2s^2+b_1s+b_0}{s^3+a_2s^2+a_1s+a_0}U(s)，我们可以分解如下：

第一部分我们可以得到

\widetilde{y}=x_1

所以第二部分为：

y=b_2 \ddot{x_1} +b_1 \dot{x_1}+b_0=\begin{bmatrix} b_0 &b_1 &b_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}

所以

\begin{bmatrix} \dot{x_1}\\ \dot{x_2}\\ \dot{x_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1\\ -a_0& -a_1 & -a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}u

y=\begin{bmatrix} b_0 &b_1 &b_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}

其方框图可表示为：

能观标准型

如果Y(s)=\frac{b_2s^2+b_1s+b_0}{s^3+a_2s^2+a_1s+a_0}U(s)，分子分母同时除以s^3可以得到

(1+a_2\frac{1}{s}+a_1\frac{1}{s^2}+a_0\frac{1}{s^3})Y(s)=(b_2\frac{1}{s}+b_1\frac{1}{s^2}+b_0\frac{1}{s^3})U(s)

因此：

Y(s)=-a_2\frac{1}{s}Y(s)-a_1\frac{1}{s^2}Y(s)-a_0\frac{1}{s^3}Y(s)+b_2\frac{1}{s}U(s)+b_1\frac{1}{s^2}U(s)+b_0\frac{1}{s^3}U(s)

其方框图可以表示如下：

其中：

Y(s)=X_1(s);\\ sX_1(s)=-a_2X_1(s)+X_2(s)+b_2U(s) \\ sX_2(s)=-a_1X_1(s)+X_3(s)+b_1U(s) \\ sX_3(s)=-a_0X_1(s)+b_0U(s)

对上式进行Laplace逆变换可得：

y(t)=x_1(t) \\ \dot{x_1}(t)=-a_2x_1(t)+x_2(t)+b_2u(t) \\ \dot{x_2}(t)=-a_1x_1(t)+x_3(t)+b_1u(t) \\ \dot{x_3}(t)=-a_0x_1(t)+b_0u(t) \\

因此：

\begin{bmatrix} \dot{x_1}\\ \dot{x_2}\\ \dot{x_3}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -a_2 & 1 & 0\\ -a_1& 0 & 1\\ -a_0& 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} b_2\\ b_1\\ b_0 \end{bmatrix}u

y=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}

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