雅可比行列式

定义和推导

雅可比行列式，它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式。以下是雅可比式的推导过程：

二阶雅可比式的推导以二重积分中的极坐标变换为例，设 ：

 ，则 x 和 y 的全微分分别为：

 可以将 dx 与 dy 视作基向量为 dr 与 d\theta 的两个向量。为了求这两个向量构成的平行四边形的面积，可以求其外积向量的模长。引入第三个基向量 dz 来表示垂直于 xoy 平面的方向，此时：

 由于

 ，所以：

 这表明在极坐标变换下，面积元 dxdy 被雅可比行列式 r 所缩放。高阶雅可比式的推导对于一般的 n 元函数

 其雅可比矩阵 J 是一个 n * n的矩阵，定义为：

 雅可比行列式就是这个矩阵的行列式。例如，对于从球坐标系到直角坐标系的变换，其雅可比矩阵为：

 其雅可比行列式为

 这表明在球坐标变换下，体积元 dxdydz 被雅可比行列式 r^2sinφ所缩放。

雅可比式的性质

1. 链式法则：若因变量对自变量连续可微，而自变量对新变量连续可微，则因变量对新变量连续可微，且雅可比行列式满足：

 这个公式允许我们将一个雅可比行列式转换成两个行列式的乘积。

2. 反函数的雅可比行列式：如果取 (u, v) = (x, y) ，则有：

 3. 对称性：从定义易知：