数据结构5（初）：排序

目录

1、排序的概念以及常见的排序算法

1.1、排序的概念

1.2、常见的排序算法

2、常见排序算法的实现

2.1、插入排序

2.1.1、直接插入排序

2.1.2、希尔排序

2.2、选择排序

2.2.1、直接选择排序

2.2.2、堆排序

2.3、交换排序

2.3.1、冒泡排序

2.3.2、快速排序

2.3.2.1、递归版本

2.3.2.2、非递归版本

2.4、归并排序

2.4.1、递归版本

2.4.2、非递归版本

2.5、归并排序和快速排序的优化

2.5.1、归并排序递归版本的优化

2.5.2、快速排序递归版本的优化

3、排序OJ

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1、排序的概念以及常见的排序算法

1.1、排序的概念

排序：所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。

稳定性：假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i]=r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的，否则称为不稳定的。简单来讲就是相同数据经过排序的相对位置是否变化。

内部排序：数据元素全部放在内存中的排序。就是在内存中对数据进行排序，这种排序一般数据量比较小。

外部排序：数据元素太多不能同时放在内存中，就需要使用外部排序。

1.2、常见的排序算法

2、常见排序算法的实现

2.1、插入排序

直接插入排序是一种简单的插入排序法，其基本思想是：把待排序的记录按其关键码值的大小逐个插入到一个已经排好序的有序序列中，直到所有的记录插入完为止，得到一个新的有序序列 。

实际中我们玩扑克牌时，就用了插入排序的思想，每次摸牌，插入到一个已经排好的序列中，这就是插入排序的思想。例如：

2.1.1、直接插入排序

当插入第i(i>=1)个元素时，前面的array[0],array[1],…,array[i-1]已经排好序，此时用array[i]的排序码与 array[i-1],array[i-2],…的排序码顺序进行比较，找到插入位置即将array[i]插入，原来位置上的元素顺序后移。

直接插入排序的特性总结：

1. 元素集合越接近有序，直接插入排序算法的时间效率越高。

2. 时间复杂度：O(N^2)。最优为O(N)。

3. 空间复杂度：O(1)。

4. 稳定性：稳定。

例如：

//直接插入排序
void InsertSort(int* a, int n)
{for (int i = 0; i < n-1; i++){int end=i;int tmp=a[i+1];   //存数据while (end >= 0){if (a[end] > tmp)    //目前排的是升序{a[end + 1] = a[end];end--;}elsebreak;}a[end + 1] = tmp;}
}

2.1.2、希尔排序

希尔排序法又称缩小增量法。希尔排序是一种基于插入排序的排序算法，它通过将数据分成多个“子序列”对其进行排序，从而提高插入排序的效率。如图：先有一个gap，把相隔距离为gap的数据归为一组，然后对每个组进行插入排序，然后再减小gap重复上述步骤。gap越大排完越不接近有序。当gap为1时，排完就变成有序的了。

例如：

//希尔排序1
void ShellSort(int* a, int n)
{int gap=n;while (gap > 1){gap = gap / 3 + 1;      //选择3是因为这个数比较合适//在这个过程中，gap会变的越来越小for (int j = 0; j < gap; j++)    //分组{for (int i = j; i < n - gap; i += gap)      //插入排序{int end = i;int tmp = a[end + gap];while (end >= 0){if (a[end] > tmp){a[end + gap] = a[end];end -= gap;}elsebreak;}a[end + gap] = tmp;}}}
}

再比如：

//希尔排序2      //多组并排
void ShellSort2(int* a, int n)
{int gap = n;while (gap > 1){gap = gap / 3 + 1;              //选择3这个数是因为这个数比较合适for (int i = 0; i < n - gap; ++i)//多组并排{int end = i;int tmp = a[end + gap];while (end >= 0){if (a[end] > tmp){a[end + gap] = a[end];end -= gap;}elsebreak;}a[end + gap] = tmp;}}
}

希尔排序的特性总结：

1. 希尔排序是对直接插入排序的优化。

2. 当gap > 1时都是预排序，目的是让数组更接近于有序。当gap == 1时，数组已经接近有序的了，这样就会很快。这样整体而言，可以达到优化的效果。我们实现后可以进行性能测试的对比。

3. 希尔排序的时间复杂度不好计算，因为gap的取值方法很多，导致很难去计算，因此在好些书中给出的希尔排序的时间复杂度都不固定。根据一些书上给出的值，我们暂且认为希尔排序的时间复杂度为O(N^1.3)。空间复杂度很显然为O(1)。

4. 稳定性：不稳定。

2.2、选择排序

基本思想：每一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列的起始位置，直到全部待排序的数据元素排完 。

2.2.1、直接选择排序

在元素集合中选择关键码最大(小)的数据元素 ，若它不是这组元素中的最后一个(第一个)元素，则将它与这组元素中的最后一个（第一个）元素交换 ，在剩余的未排好的集合中，重复上述步骤，直到集合剩余1个元素。

例如：

//选择排序(这个选择排序进行优化了一下，这个是从两头开始都排数)
void SelectSort(int* a, int n)
{int begin = 0, end = n - 1;while (begin < end){int maxi = begin, mini = begin;for (int i = begin; i <= end; i++){if (a[i] > a[maxi]){maxi = i;}if (a[i] < a[mini]){mini = i;}}Swap(&a[begin], &a[mini]);//如果maxi和begin重合，修正一下if (begin == maxi){maxi = mini;}Swap(&a[end], &a[maxi]);++begin;--end;}
}

直接选择排序的特性总结：

1. 直接选择排序思考非常好理解，但是效率不是很好。实际中很少使用

2. 时间复杂度：O(N^2)

3. 空间复杂度：O(1)

4. 稳定性：不稳定

2.2.2、堆排序

堆排序是指利用树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。它是通过堆来进行选择数据。需要注意的是排升序要建大堆，排降序建小堆。

例如：堆排序之前在树的部分说过。

//堆排序
void HeapSort(int* a, int n)
{for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, n, i);}//成功建堆int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]);//交换，为了不破坏堆的结构。AdjustDown(a, end, 0);//再从根开始调整堆的结构。--end;}
}

直接选择排序的特性总结：

1. 堆排序使用堆来选数，效率就高了很多。

2. 时间复杂度：O(N*logN)。

3. 空间复杂度：O(1)。

4. 稳定性：不稳定。

2.3、交换排序

基本思想：所谓交换，就是根据序列中两个记录键值的比较结果来对换这两个记录在序列中的位置，交换排序的特点是：将键值较大的记录向序列的尾部移动，键值较小的记录向序列的前部移动（升序）。

2.3.1、冒泡排序

例如：

//冒泡排序
void BubbleSort(int* a, int n)
{for (int j = 0; j < n; j++){bool exchange = false;for (int i = 1; i < n - j; i++){if (a[i - 1] > a[i]){int tmp = a[i];a[i] = a[i - 1];a[i - 1] = tmp;exchange = true;}}if (exchange == false)break;}
}

冒泡排序的特性总结：

1. 时间复杂度：O(N^2)

2. 空间复杂度：O(1)

3. 稳定性：稳定

2.3.2、快速排序

其基本思想为：任取待排序元素序列中的某元素作为基准值，按照该排序码将待排序集合分割成两子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值，然后左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止。

一般基准值的选择是以左边或者右边的值作为基准值。每次选择的基准值为中位数效率就很好，数组一旦有序，效率就会变成最坏，时间复杂度为O(N^2)。为了解决这个基准值选取的问题，我们可以使用三数取中法或者随机数取中法。

例如：三数取中法：首、尾、中间的值取中间值。

//三数取中
int GetMidIndex(int* a, int left, int right)//选择首、尾和中间的三个数，找到这三个数中既不是最大也不是最小的数。
{int mid = (left + right) / 2;if (a[left] < a[mid]){if (a[mid] < a[right]){return mid;}else if (a[left] < a[right]){return right;}else{return left;}}else{if (a[mid] > a[right]){return mid;}else if (a[left]>a[right]){return right;}else{return left;}}
}

例如：随机数取中法：

//随机数选基准值法
int GetMidIndex2(int* a, int left, int right)
{srand(time(0));int mid = left + (rand() % (right - left));if (a[left] < a[mid]){if (a[mid] < a[right]){return mid;}else if (a[left] < a[right]){return right;}else{return left;}}else{if (a[mid] > a[right]){return mid;}else if (a[left] > a[right]){return right;}else{return left;}}
}

2.3.2.1、递归版本

快速排序递归版本的主框架：

void QuickSort(int* a, int begin,int end)
{if (begin >= end){return;}int keyi = PartSort(a, begin, end);QuickSort(a, begin, keyi - 1);QuickSort(a, keyi + 1, end);
}

其中PartSort有三个版本：

1、hoare版本

//Hoare版本
int PartSort(int* a, int left, int right)
{int midi = GetMidIndex(a, left, right);//三数取中，来优化快速排序。Swap(&a[left], &a[midi]);int keyi = left;//标准值keyiwhile (left < right){//右边找小while (left < right && a[right] >= a[keyi]){--right;}//左边找大while (left < right && a[left] <= a[keyi]){++left;}Swap(&a[left], &a[right]);//交换，让标准左边小，标准右边大。}Swap(&a[keyi], &a[left]);return left;
}

2、挖坑法

//挖坑法版本
int PartSort2(int* a, int left, int right)
{int midi = GetMidIndex(a, left, right);Swap(&a[left], &a[midi]);int key = a[left];int hole = left;while (left < right){//右边找小while (left < right && a[right] >= key){--right;}a[hole] = a[right];hole = right;//左边找大while (left < right && a[left] <= key){++left;}a[hole] = a[left];hole = left;}a[hole] = key;return hole;
}

3、前后指针法

//前后指针法版本
int PartSort3(int* a, int left, int right) 
{int midi = GetMidIndex(a, left, right);Swap(&a[left], &a[midi]);int prev = left;int cur = left + 1;int keyi = left;while (cur <= right){if (a[cur] < a[keyi] && ++prev != cur){Swap(&a[prev], &a[cur]);}++cur;}Swap(&a[prev], &a[keyi]);keyi = prev;return keyi;
}

这些版本的时间复杂度都为O(N)，思想基本都是一致的，没有本质上的差别。相对来说hoare最难，前后指针法最容易理解。

2.3.2.2、非递归版本

例如：这里使用了栈这个数据结构的一些接口，可看之前写的文章中栈的实现。

//非递归的快速排序
void QuickSortNonR(int* a, int begin, int end)
{ST st;STInit(&st);STPush(&st, end);STPush(&st, begin);while (!STEmpty(&st)){int left = STTop(&st);STPop(&st);int right = STTop(&st);STPop(&st);int keyi = PartSort3(a, left, right);if (keyi + 1 < right){STPush(&st, right);STPush(&st, keyi + 1);}if (left < keyi - 1){STPush(&st, keyi-1);STPush(&st, left);}}STDestory(&st);
}

这个非递归版本的快速排序还可以使用队列来实现。 

快速排序的特性总结：

1. 快速排序整体的综合性能和使用场景都是比较好的。

2. 时间复杂度：O(N*logN)

3. 空间复杂度：O(logN)

4. 稳定性：不稳定

2.4、归并排序

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。如图：

2.4.1、递归版本

例如：

//归并排序
void _MergeSort(int* a, int begin,int end,int* tmp)
{if (begin == end)return;int mid = (begin + end) / 2;_MergeSort(a, begin, mid, tmp);_MergeSort(a, mid + 1, end, tmp);int begin1 = begin, end1 = mid;int begin2 = mid + 1, end2 = end;int i = begin;while (begin1<=end1 && begin2<=end2){if (a[begin1] <= a[begin2]){tmp[i++] = a[begin1++];}else{tmp[i++] = a[begin2++];}}while (begin1<=end1){tmp[i++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[i++] = a[begin2++];}memcpy(a+begin, tmp+begin, sizeof(int) * (end - begin + 1));
}void MergeSort(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);_MergeSort(a, 0, n - 1, tmp);free(tmp);
}

2.4.2、非递归版本

法一：

//非递归版本
void MergeSortNonR(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);int gap = 1;while (gap<n){int j = 0;for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap){int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;if (end1 >= n || begin2 >= n){break;}if (end2 >= n){end2 = n - 1;}while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] <= a[begin2]){tmp[j++] = a[begin1++];}else{tmp[j++] = a[begin2++];}}while (begin1 <= end1){tmp[j++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[j++] = a[begin2++];}//归并一组，拷一组。memcpy(a + i, tmp + i, sizeof(int) * (end2 - i + 1));}gap *= 2;}free(tmp);
}

法二：

//解决方法2
void MergeSortNonR2(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);int gap = 1;while (gap < n){int j = 0;for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap){int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;if (end1 >= n){end1 = n - 1;begin2 = n;end2 = n - 1;}else if (begin2 >= n){begin2 = n;end2 = n - 1;}else if (end2 >= n){end2 = n - 1;}while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] <= a[begin2]){tmp[j++] = a[begin1++];}else{tmp[j++] = a[begin2++];}}while (begin1 <= end1){tmp[j++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[j++] = a[begin2++];}}memcpy(a, tmp, sizeof(int) * n);//整组拷贝gap *= 2;}free(tmp);
}

归并排序的特性总结：

1. 归并的缺点在于需要O(N)的空间复杂度，归并排序更多的是解决在硬盘中的外排序问题，另外归并排序本身是很快的，但是拷贝数据是一个硬伤。

2. 时间复杂度：O(N*logN)

3. 空间复杂度：O(N)

4. 稳定性：稳定

2.5、归并排序和快速排序的优化

2.5.1、归并排序递归版本的优化

这个优化主要是通过对小区间使用插入排序实现的。但是这个优化并不能从本质上改变归并排序的效率。

//针对递归版本的一些改进
//归并排序
void _MergeSort2(int* a, int begin, int end, int* tmp)
{if (begin == end)return;//小区间优化if (end - begin + 1 < 10){InsertSort(a + begin, end - begin + 1);return;}int mid = (begin + end) / 2;_MergeSort2(a, begin, mid, tmp);_MergeSort2(a, mid + 1, end, tmp);int begin1 = begin, end1 = mid;int begin2 = mid + 1, end2 = end;int i = begin;while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] <= a[begin2]){tmp[i++] = a[begin1++];}else{tmp[i++] = a[begin2++];}}while (begin1 <= end1){tmp[i++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[i++] = a[begin2++];}memcpy(a + begin, tmp + begin, sizeof(int) * (end - begin + 1));
}void MergeSort2(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);_MergeSort2(a, 0, n - 1, tmp);free(tmp);
}

2.5.2、快速排序递归版本的优化

这个三路划分主要针对的是一个元素全相等的数组的情况，因为元素全相等，快速排序的时间复杂度就变为了O(N^2)。随机数取中法主要是针对三数取中法可能会被一些特别例子针对而设计的一种方法。

//三路取中法(对快速排序的优化，采用了三路划分，以及随机数取中法)
void QuickSortRoad3(int* a, int begin, int end)
{if (begin >= end){return;}int left = begin;int right = end;int cur = left + 1;int midi = GetMidIndex2(a, left, right);Swap(&a[left], &a[midi]);int key = a[left];while (cur <= right){if (a[cur] < key){Swap(&a[left], &a[cur]);++left;++cur;}else if (a[cur] > key){Swap(&a[right], &a[cur]);--right;}else{++cur;}}QuickSortRoad3(a, begin, left - 1);QuickSortRoad3(a, right + 1, end);
}

3、排序OJ

可以尝试使用上面的排序来跑一跑下面的OJ题，观察这些排序的效率差异

排序OJ