【算法】二分查找(下)

一、山峰数组的峰顶索引

题目链接：852. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣（LeetCode）

题目描述：

给定一个长度为 n 的整数 山脉 数组 arr ，其中的值递增到一个 峰值元素 然后递减。

返回峰值元素的下标。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log(n)) 的解决方案。

示例 1：

输入：arr = [0,1,0]
输出：1

示例 2：

输入：arr = [0,2,1,0]
输出：1

示例 3：

输入：arr = [0,10,5,2]
输出：1

提示：

• 3 <= arr.length <= 10^5
• 0 <= arr[i] <= 10^6
• 题目数据 保证 arr 是一个山脉数组

题目分析：

我们只需要在一个 先升序后降序的数组中 找到转折点的下标即可

需要注意的是，在【提示】中，明确说明：该数组的长度是大于等于3的，并且保证了数组arr是一个山脉数组(满足先升序后降序--必有转折点)。所以当数组长度为3时，返回值为1.

所以峰值元素肯定不会出现在数组的两端，而是出现在数组中间。

即返回值区间为：[1,arr.length-2]

题目所满足的条件在后续解题中，有很大的作用

在本题中，数组具有【二段性】，即当数组被分为两个部分后，每个部分内部都有某种特定的性质。在本题中，前半部分满足升序，后半部分满足降序。我们在【手撕二分查找】中的二分查找本质中，说过：当数组具有有序性/二段性时，存在一个分界点时，使得分界点前后元素的性质不同，便可以使用二分查找来解决问题。

解题思路：

在循环中，我们只需要判断mid处元素是否大于mid-1处的元素，然后依此更新左右边界，直到找到峰值元素

1.确认区间形式：【左开右闭】

2.维护区间形式：初始值、循环条件、左右边界

初始值：left=0，right=arr.length-2/arr.length-1(由于峰值元素不出现在数组两端，搜索区间为[1,arr.length-2])。注意：left一定不能为-1，因为当left=-1时，可能会导致mid-1<0越界

循环条件：left<right

左右边界：left=mid，right=mid-1

3.选择mid的计算方式：向上调整：mid=left+(right-left+1)/2

4.返回值：return left

如果我们用left=-1去提交，发现会报一个越界异常，如下：

arr=[3,5,3,2,0]

越界的原因：

1. 初始时：left= -1，right=4。mid=2,arr[mid]=3<arr[mid-1]=5。令right=mid-1=1
2. 此时：left=-1,right=1。mid=0。由于mid-1=-1<0，所以越界

为了避免越界，要保证mid-1>=0,即mid>=1。

初始化left=0则可以解决这一问题

解题代码：

class Solution {public static int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {int left=0;int right=arr.length-2;//或者可以为arr.length-1while(left<right){int mid=left+(right-left+1)/2;if(arr[mid]>arr[mid-1])left=mid;else right=mid-1;}return left;}
}

二、寻找峰值

1.题目链接：162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）

2.题目描述：

峰值元素是指其值严格⼤于左右相邻值的元素。

给你⼀个整数数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返

回 任何⼀个峰值 所在位置即可。

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞ 。

你必须实现时间复杂度为 O(log n) 的算法来解决此问题。

⽰例 1：

输⼊：nums = [1,2,3,1]

输出：2

解释：3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。

⽰例 2：

输⼊：nums = [1,2,1,3,5,6,4]

输出：1 或 5

解释：你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2；

或者返回索引 5， 其峰值元素为 6。

提⽰：

1 <= nums.length <= 1000

-2^31 <= nums[i] <= 2^31 - 1

对于所有有效的 i 都有 nums[i] != nums[i + 1]

题目分析：

首先解析为什么给出nums[-1]=nums[n]= -∞

这保证了数组一定有峰值。

比如数组是严格递增的，那么nums[n-1]就是峰值。为什么？因为此时nums[n-2]<nums[n-1]>nums[n]。同样地，假如数组是严格递减的，那么nums[0]就是峰值。因为此时nums[-1]<nums[0]>nums[1]

其实简单来说，峰值元素就是一个大于其两侧的元素而已。而nums[-1]和nums[n]为 -∞，则保证了下标为0或者n-1处的元素也可能是峰值元素。

定理：如果i<n-1且nums[i-1]<nums[i]，那么在下标[i,n-1]中一定存在至少一个峰值

反证法：假设下标[i,n-1]中没有峰值

·由于i处不是峰值且nums[i-1]<nums[i]，所以一定有nums[i]<nums[i+1]成立，否则i就是峰值了。

·由于i+1处不是峰值且nums[i]<nums[i+1]，所以一定有nums[i+1]<nums[i+2]成立，否则i+1就是峰值了。

·依此类推，得 nums[i-1]<nums[i]<nums[i+1]<nums[i+2]<........nums[n-1]>nums[n]= -∞

这意味着nums[n-1]是峰值，假设不成立，所以定理成立。

同理可得，如果i<n-1且nums[i-1]>nums[i]，那么在[0,i-1]中一定存在至少一个峰值

解题思路：

根据上述分析，我们已知数组中一定存在至少一个峰值。只需要通过比较nums[i-1]和nums[i]得大小关系，从而不断地缩小峰值所在位置的范围，二分找到峰值即可

细节：

1. 当数组只有一个元素时，该元素即为峰值。应当返回下标0
2. 当n-1处的元素为峰值元素时，每次更新的都是left，当left走到n-1处(right初始值)时，结束循环，返回n-1

我们这里选择【左开右闭】来解决本题

由于当数组只有一个元素时，应该返回下标0。所以这里初始化left=0

解题代码：

class Solution {public int findPeakElement(int[] nums) {int left=0;int right=nums.length-1;//左开右闭 (0,n-1]while(left<right){int mid=left+(right-left+1)/2;if(nums[mid]>nums[mid-1])left=mid;else right=mid-1;}return left;}
}

三、搜索旋转排序数组中的最小值

1.题目链接：153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣（LeetCode）

2.题目描述：

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次 旋转 后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：

• 若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
• 若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。

给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。

示例 2：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出：0
解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 4 次得到输入数组。

示例 3：

输入：nums = [11,13,15,17]
输出：11
解释：原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组。

提示：

• n == nums.length
• 1 <= n <= 5000
• -5000 <= nums[i] <= 5000
• nums 中的所有整数 互不相同
• nums 原来是一个升序排序的数组，并进行了 1 至 n 次旋转

题目分析：

其实本题的数组可以看成由 两段升序数组(假设为数组M、N)拼接而成。

如果原数组由N+M拼接而成，那么M+N就是一个升序数组。而M、N分别又是升序的

我们用一张图表示，会更加清晰

其中C点就是我们所要求的点

二分的本质：找到一个判断标准，使得查找区间能够一分为二

通过图像我们发现，[A，B]区间内的点都是严格大于D点的值，C点的值是严格小于D点的值。但是当[C，D]区间只有一个元素的时候，C点的值可能等于D点的值

因此，初始化左右两个指针left，right：

根据mid的落点，我们可以这样划分下一次查询的区间：

·当mid在[A，B]区间的时候，也就是mid位置的值严格大于D点的值，下一次查询区间在[mid+1，right]

·当mid在[C，D]区间的时候，也就是mid位置的值严格小于等于D点的值，下一次查询区间在[left，mid]

当区间长度变成1的时候，就是我们要找的结果

注意：我们这里的D需要额外处理。我们将查询区间内的最后一个元素看作D。

解题代码：

class Solution {public static int findMin(int[] nums) {//左闭右开int left=0;int right=nums.length-1;int x=nums[right];//标记一下最后一个位置的值while(left<right){int mid=left+(right-left)/2 ;if(nums[mid]>x)left=mid+1;else right=mid;}return nums[left];}
}

四、0~n-1中缺失的数字

1.题目链接：LCR 173. 点名 - 力扣（LeetCode）

2.题目描述：

某班级 n 位同学的学号为 0 ~ n-1。点名结果记录于升序数组 records。假定仅有一位同学缺席，请返回他的学号。

示例 1：

输入：records = [0,1,2,3,5]
输出：4

示例 2：

输入：records = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8]
输出：7

提示：

1 <= records.length <= 10000

简单来说：有一个长度为n的升序数组，数组内的元素应该为0~n-1。请找出缺少的那个数字

我们本题使用【左闭右开】来解题

这题其实更加简单了。我们只需要比较下标是否与元素相等即可。

如果相等，表示左侧没有缺少，右侧缺少，那么下一次查询区间为[mid+1,right]

如果不相等，表示左侧缺少，右侧不缺少，那么下一次查询区间为[left,mid]

左右指针相遇处的元素则表示 下标与元素不相等。返回此处下标--表示缺少元素

解题代码：

class Solution {public static int takeAttendance(int[] records) {int left=0;int right=records.length;//左闭右开while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(records[mid]==mid)left=mid+1;else right=mid;}return left;}
}