L1-6 大勾股定理

题目

大勾股定理是勾股定理的推广：对任何正整数 n 存在 2n+1 个连续正整数，满足前 n+1 个数的平方和等于后 n 个数的平方和。例如对于 n=1 有 3^2 +4^2 =5^2 ；n=2 有 10^2 +11^2 +12^2 =13^2 +14^2 等。给定 n，本题就请你找出对应的解。

输入格式：
输入在一行中给出正整数 n（≤10^4 ）。

输出格式：

分两行输出满足大勾股定理的解，格式如下：

a[0]^2 + a[1]^2 + … + a[n]^2 =
a[n+1]^2 + … + a[2n]^2
其中解的数列 a[0] … a[2n] 按递增序输出。注意行首尾不得有多余空格。

输入样例：
3

输出样例：
21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 =
25^2 + 26^2 + 27^2

思路

遇到这道有关大勾股数定义的题目，第一反应就是新奇，常规的解题思路在这儿根本行不通。一般人可能会想到用暴力遍历法来试试，就是不管不顾，把所有可能的数挨个尝试一遍，看能不能满足题目要求。但这方法太笨啦，特别浪费时间，而且就算费了好大劲，最后也不一定能得出正确答案。想要找个又快又好的办法，却感觉毫无头绪，脑袋里一团乱麻，真是让人干着急。
不过，那些对数学特别敏感、洞察力强的人就不一样了。他们清楚，任何数学问题背后都藏着规律，只要用心找，肯定能发现。
就拿这道题来说，经过仔细观察和分析，我们发现了一个关键规律：对于任意给定的整数n，恰好有(2n + 1)个数能符合大勾股数相关的等式。既然知道了这个，我们不妨换个思路，试着找找这一堆数里正中间的那个数。
具体来看：当(n = 1)时，中间那个数是4；(n = 2)时，中间数变成12；(n = 3)时，中间数则是24。这几个数乍一看好像没啥联系，可要是把它们拆开分析，就有门道了。(4 = 1×4)；(12 = 2×6)；(24 = 3×8)。到这儿，是不是感觉有点眉目了？别急，我们再深入研究一下。(1×4)其实就是(1×(2×2))；(2×6)就是(2×(2×3))；(3×8)实际上是(3×(2×4))。
这下大家肯定都明白了，原来给定一个数n，它对应的大勾股数里，中间那个数的规律就是(n×(2×(n + 1))) 。知道了这个规律，再去写代码解这道题，那就简单多了。再也不用像之前想用暴力计算平方和那样，担心时间不够算不完了。按照这个规律写代码，轻轻松松就能把这道难题解决掉，是不是超厉害！

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int n;cin>>n;  // 输入整数 nvector<int>res;  // 定义一个整型向量 res 用于存储结果int x = n*((n+1)*2)-n;  // 计算起始数字for(int i = 0;i < 2*n+1;i++){  // 循环 2*n + 1 次res.push_back(x);  // 将当前数字 x 存入向量 resx++;  // x 自增 1}for(int i = 0;i < n+1;i++){  // 输出等式左边if(i == 0) printf("%d^2 ",res[i]);  // 输出第一个数的平方else printf("+ %d^2 ",res[i]);  // 输出后续数的平方，前面加 + 号if(i == n) cout<<"="<<endl;  // 等式左右两边分隔符}for(int i = n+1;i < 2*n+1;i++){  // 输出等式右边if(i == n+1){  // 输出等式右边第一个数的平方if(n+1 == 2*n) printf("%d^2",res[i]);  // 若只有一个数，不输出空格else printf("%d^2 ",res[i]);}else if(i == 2*n){  // 输出等式右边最后一个数的平方printf("+ %d^2\n",res[i]);}else printf("+ %d^2 ",res[i]);  // 输出等式右边中间数的平方}return 0;
}