数学建模初等模型应用

一、目的

掌握初等模型的建模方法,对简单的初等模型能借助Matlab工具软件进行辅助建模、求解和检验。

二、实验内容与设计思想（设计思路、主要代码分析）

1、预测鱼的质量
（1）设计思路：使用线性回归模型预测鱼的质量，基于其身长和胸围作为输入特征。通过最小二乘法拟合模型，推导出一个线性方程，用于对未知样本的质量进行预测。
（2）代码实现数据准备：将鱼的身长、胸围和质量数据这些数据以向量的形式存储，以便后续的计算。
设计矩阵构建：构建设计矩阵，包含输入特征（身长和胸围）及一个常数项，用于线性回归分析。
N = numel(length); X = [ones(N, 1), length, girth];
这里，N表示样本数量，通过numel函数获取。X是设计矩阵，它的第一列为常数1（表示截距项），第二列为身长，第三列为胸围。这种构建方式是线性回归中常见的形式，使得模型可以通过线性组合来表示。
线性回归模型拟合：利用最小二乘法公式b = (X’ * X)(X’ * weight);进行参数估计，以得到最佳的线性回归系数。这些系数能够帮助我们构建预测模型。
模型预测：使用拟合得到的模型对新的身长和胸围数据进行质量预测。
2、录像机
（1）设计思路：
数据收集与处理：收集录像机在不同时间点的计数器读数，形成一组时间与读数的数据对。这些数据将用作分析录像带的使用情况。
插值法：由于原始数据点有限，为了获得更平滑的曲线，使用插值法（在这里使用的是样条插值’spline’），可以在给定时间点估算出相应的计数器读数。
时间计算：基于当前计数器读数计算已经用掉的时间，然后与录像带的总时间进行对比，得到剩余时间。利用插值的结果进一步估算在剩余时间内计数器的读数。
最后，通过比较剩余读数和当前读数，判断剩余时间是否足够录制一小时的节目。
（2）原始数据表示：使用两个数组t和n分别表示时间（分钟）和对应的计数器读数。
插值计算：使用linspace生成细分时间点tt，并通过spline插值方法获取对应的计数器读数nn。
绘图：使用MATLAB的绘图功能，将原始数据点和插值结果绘制在同一图形中，以便直观展示读数变化。
剩余时间计算：通过当前计数器读数计算已经用掉的时间，并求出录像带的剩余时间。
通过插值法获取在剩余时间内的读数，并与当前读数进行比较，给出是否足够录制一小时节目的结论。

三、实验使用环境（本次实验所使用的平台和相关软件）

Matlab

四、实验步骤和调试过程

1、预测鱼的质量

N = numel(length);：计算数据点的数量，这里为8。
X = [ones(N, 1), length, girth]：构造设计矩阵 X。在这个矩阵中，第一列全为1（用于线性回归中的截距项），第二列是鱼的身长，第三列是鱼的胸围。最终的矩阵 X 的维度为 8x3，每一行代表一个样本，每一列代表一个变量。
b = (X’ * X)(X’ * weight);：这是最小二乘法的标准计算方式。首先计算 X 的转置 X’，然后计算 X’ * X 和 X’ * weight。接着使用‘ \’ 进行矩阵左除，从而解得参数 b。b 是一个包含线性回归系数的向量，具体包括截距和斜率。
a0：截距项，即当身长和胸围为0时的预测质量。
a1：身长的回归系数，表示身长每增加一单位cm，预测质量的增加量g。
a2：胸围的回归系数，表示胸围每增加一单位cm，预测质量的增加量g。
y = a0+a1mlength+a2mgirth;根据建立的回归模型，用 mlength 和 mgirth 计算预测的质量 y。

更改几个身长和胸围的数据，不难看出与表格质量数据近似。

2、录像机

tt：使用 linspace 创建了一个从0到184分钟的等间距的1000个点的数组，方便绘图和插值。
nn：使用 interp1 进行样条插值（‘spline’），生成在 tt 这些时间点对应的计数器读数。这一步使得拟合曲线更加平滑。
plot(tt, nn, ‘r-’, ‘DisplayName’, ‘拟合曲线’)：用红色线绘制拟合的插值曲线。
current_reading = 4450：假设当前计数器的读数为4450。
elapsed_time = 184 * (current_reading / 6061)：计算已经用掉的时间。根据比例关系，将当前读数与最大读数6061进行比较，得出已用掉的时间。
remaining_time = 180 - elapsed_time;：计算录像带的剩余时间。
if remaining_time < 0：检查剩余时间是否小于0，如果是，输出“录像带已用完！”。
remaining_reading = interp1(t, n, elapsed_time + remaining_time, ‘linear’);：如果还有剩余时间，使用线性插值计算在已用时间加剩余时间的情况下，计数器的读数。
if (remaining_reading - current_reading) >= 1000：检查剩余的读数是否能支持录制1小时的节目（即至少增加1000的计数器读数），如果条件成立，输出“剩余时间足够录制1小时节目。否则，输出“剩余时间不足以录制1小时节目。”。

结合图像和计算结果可得出结论。

五、小结

实验中遇到的问题及解决过程：
1、在进行线性回归时，发现部分身长和胸围值超出了原数据范围，导致预测结果不合理。
解决过程：添加数据有效性检查，确保输入值在合理范围内，并使用数据过滤技术剔除异常值。
2、在选择插值方法时，初步使用线性插值，发现拟合曲线不够光滑，存在明显的跳变。
解决过程：更改为样条插值方法，得到更平滑的拟合结果。

实验体会和收获：
通过本次实验，我认识到数据预处理在分析中的重要性，尤其是格式和范围的有效性直接影响模型的预测结果。同时，实验让我深刻体会到理论知识与实际操作的结合，实际操作中遇到的各种问题促使我不断调整和完善分析方法。此外，我在问题解决过程中锻炼了逻辑思维能力，学会了如何系统地分析问题并提出解决方案。这些经验为我今后的数据分析和模型建立奠定了良好的基础。