【打卡】树状数组的操作

#define MAXN 1000 int n;                  // 数组实际长度
int array[MAXN];        // 原始数组（下标从0开始）
int tree[MAXN];         // 树状数组（下标从1开始）
int p[MAXN];            // 前缀和数组（下标从1开始）int lowbit(int x) {return x & (-x);
}

• lowbit 函数：返回 x 的最低位 1 所代表的数值。例如，lowbit(6) 返回 2（因为 6 的二进制是110，最低位 1 对应的值是10即 2）。这个函数是树状数组的核心工具，用于确定节点管辖范围和父子关系。
• tree 数组：树状数组的核心存储结构，tree[i] 存储区间 [i-lowbit(i)+1, i] 的元素和。

void init() {for (int i = 1; i <= n; i++) {tree[i] = array[i - 1];  // 注意array下标从0开始for (int j = i - 1; j > i - lowbit(i); j -= lowbit(j)) {tree[i] += tree[j];}}
}

• 初始化逻辑：
  1. 先将每个节点初始化为对应原始数组的值（tree[i] = array[i-1]）。
  2. 再累加前面的节点值：对于节点i，需要加上所有管辖范围与i有重叠的前驱节点（即j > i - lowbit(i)的节点）。
• 时间复杂度：O (n log n)，适用于静态初始化。若需更高效的 O (n) 初始化，可改用差分法。

void update(int index, int value) {while (index <= n) {tree[index] += value;index += lowbit(index);}
}

• 功能：将原始数组中第index个元素增加value，并更新树状数组。
• 更新路径：从当前节点开始，不断向上找到父节点（通过index += lowbit(index)），直到超出数组范围。
• 示例：若更新index=3，则更新路径为：3 → 4 → 8 → ...，直到index > n。

int q(int index) {int sum = 0;while (index > 0) {sum += tree[index];index -= lowbit(index);}return sum;
}

• 功能：计算原始数组前index个元素的和（即array[0] + array[1] + ... + array[index-1]）。
• 查询路径：从当前节点开始，不断向左上方找到 “管辖前缀” 的节点（通过index -= lowbit(index)），直到index=0。
• 示例：查询index=7的前缀和时，路径为：7 → 6 → 4 → 0，累加tree[7] + tree[6] + tree[4]。

int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 0; i < n; i++) {scanf("%d", &array[i]);}init();  // 初始化树状数组// 输出树状数组的内容for (int i = 1; i <= n; i++) {printf("%d ", tree[i]);}printf("\n");// 计算并输出前缀和数组for (int i = 1; i <= n; i++) {p[i] = q(i);printf("%d ", p[i]);}printf("\n");return 0;
}

1. 输入处理：读取数组长度n和n个元素。
2. 初始化树状数组：调用init()构建树状数组。
3. 输出树状数组：直接打印tree数组，展示每个节点存储的值。
4. 计算前缀和：通过q()函数计算每个位置的前缀和，并存储在p数组中输出。

体会：

通过完成树状数组的代码实现，我对这一数据结构有了更深入的理解。最初理解 lowbit 函数的作用时较为抽象，但通过调试和示例推导，逐渐明白它如何划分区间、构建树状结构。初始化函数中，通过循环累加前驱节点值的逻辑，让我直观看到每个节点如何聚合子区间的和，这比单纯记忆公式更有助于掌握原理。

单点更新和前缀查询的递归式路径遍历（通过加减 lowbit）是树状数组的核心技巧，这种 “自底向上” 和 “自顶向下” 的操作模式，将 O (n) 的时间复杂度优化到 O (log n)，体现了算法设计的精妙。在主函数测试中，通过输出 tree 数组和前缀和数组，验证了逻辑的正确性，尤其是看到 tree 数组中各节点存储的区间和与理论推导一致时，成就感较强。

不过，代码中初始化的 O (n log n) 复杂度仍有优化空间，后续可以尝试差分法实现 O (n) 初始化。此外，树状数组在逆序对、区间更新等场景的扩展应用，还需要进一步实践。这次实现不仅巩固了理论知识，也让我体会到算法与代码结合时，细节处理（如下标转换）的重要性，对提升逻辑思维和问题解决能力很有帮助。