微积分的学习记录

在看一个介绍微积分的视频时我和豆包AI讨论了关于微积分的思维公式两方面的内容。微积分的思维比较容易学而微积分的公式就比较复杂基于此我就有了将思维和公式拆开学习的想法以前在大学学微积分学了一个囫囵吞枣看看本次能否再捡屠龙刀。本文将先探究微积分的思维方式在寻找牛顿时期的微积分公式最后再看现在的微积分公式。从历史角度来看牛顿时期的微积分公式比较少大概不到10条相对更容易学习而现在的微积分公式已经膨胀到50条左右如果算上50条公式的变化形态基本上可以说是无穷无尽了。而50条的复杂微积分公式很明显不利于学习那么是否存在只用学习思维少量公式的学习方案呢我认为应该是有的就让我们进入下面的学习吧一、微积分思维微积分的思维是一种通过分析变化和累积来理解和解决问题的科学思维方式强调已知与未知之间的关系。1、微积分基础概念微积分主要包括两个核心概念导数和积分。导数用于描述函数的变化率反映了某一变量的瞬时变化而积分则用于计算累积量通常表示面积或体积等。微积分的思维方式可以总结为以下几点1、划分与关系微积分的思维首先涉及对问题的划分例如将一个复杂的区域划分为多个小部分以便于分析和计算。通过这种划分可以更清晰地理解各部分之间的关系。2、极限的概念微积分的核心在于极限的概念。通过让某些量趋近于零微积分能够处理连续变化的问题帮助我们理解在无限小的情况下函数的行为。3、已知与未知微积分的思维强调用“已知”去认识和解决“未知”。例如通过已知的瞬时速度来推导出物体的位移或者通过已知的面积公式来计算复杂图形的面积。2、微积分的应用微积分在科学、工程、经济等多个领域都有广泛的应用。它不仅是数学研究的基础也是解决实际问题的重要工具。例如在物理学中微积分用于描述运动、力和能量的变化在经济学中微积分用于分析成本、收益和市场变化等。3、微积分的思维方式生物性思维方式饿了吃饭渴了喝水冷了加衣服孤独去找朋友。数学思维方式将自己的行为进行量化思考自己的收入有多少衣食住行的经济支出倾向于哪个方面整体收入是否大于整体支出能够存储多少钱——关键词是对生活进行量化数据化。微积分思维方式在数学思维方式的基础上思考生活中的某个连续数据的变化速率计算生活中数据的累积量。比如每月支出费用的变化速率每月支出费用的累积量。——在量化的基础上进行微积分方式的思考。其他思维方式以微积分的方式进行思考就是微积分思维方式以科学计算的方式进行思考就是科学计算思维方式以图形化的方式进行思考就是图形化思维方式。组合思维方式学习者应该从众多的思考方式中选择适合自己的思考方式从而形成适合自己的思维方式。这种思维方式需要持续不断的进行培养否则就容易退化为生物性思维方式。或者换句话说如果不进行数学及其他高级思维方式哪怕大学毕业其同样是在使用生物性思维方式进行思考。微积分思维方式之于数学思维方式正如数学思维方式之于生物性思维方式即是说微积分思维方式并不是难以形成的微积分和数学完全一样。4、微积分思维方式的实现重大的微积分问题、方案很少由个人在短时间内做出来要么是由著名数学家花费经年累月的时间得出成熟结果要么是由机构系统性的分析微积分问题得出对应报告。个人面对复杂的微积分问题在思维层面可以进行分析在公式层面进行实际解决问题时应该选择外界的帮助1寻找相关机构发布的微积分问题报告。比如要想知道关于风暴的速率问题可以从气象台寻找风暴推进速度的报告要想知道公司收入的速率问题可以从公司的收入报告中寻找答案。2自己组建团队或者加入专业团队从事微积分工作。3将相关微积分问题喂给AI让AI帮你算。4对微积分公式融会贯通后自己算。二、微积分公式历史思维方式要研究、分析一件事物首先应该了解它们的历史。比如微积分公式的历史肯定是以牛顿-莱布尼兹时期为源头。艾萨克·牛顿1643年1月4日1727年3月31日戈特弗里德·威廉·莱布尼茨Gottfried Wilhelm Leibniz1646年7月1日1716年11月14日基本时同一时期的人物。1、牛顿-莱布尼茨时期的微积分公式9条一微积分基本定理最核心1 条牛顿 - 莱布尼茨公式定积分∫ab​f(x)dxF(b)−F(a)二莱布尼茨体系下的微分法则共 5 条常数微分d(C)0幂函数微分d(xn)nxn−1dx和差法则d(u±v)du±dv乘积法则d(uv)udvvdu商法则d(vu​)v2vdu−udv​三对应基本不定积分公式共 3 条∫0dxC∫xndxn1xn1​C (n−1)∫(u±v)dx∫udx±∫vdx合计9 条核心公式 / 法则2、现在的微积分公式36条一、微积分基本定理2 条第一基本定理变上限积分求导dxd​∫ax​f(t)dtf(x)第二基本定理牛顿 - 莱布尼茨公式∫ab​f(x)dxF(b)−F(a)二、基本导数公式常用 13 条(C)′0(xμ)′μxμ−1(ex)′ex(ax)′axlna(lnx)′x1​(loga​x)′xlna1​(sinx)′cosx(cosx)′−sinx(tanx)′sec2x(cotx)′−csc2x(secx)′secxtanx(cscx)′−cscxcotx反三角函数常用(arcsinx)′1−x2​1​三、求导法则5 条和差(u±v)′u′±v′数乘(ku)′ku′乘积(uv)′u′vuv′商(vu​)′v2u′v−uv′​复合链式dxdy​dudy​⋅dxdu​四、基本不定积分公式对应导数常用 12 条∫0dxC∫xμdxμ1xμ1​C (μ−1)∫x1​dxln∣x∣C∫exdxexC∫axdxlnaax​C∫sinxdx−cosxC∫cosxdxsinxC∫sec2xdxtanxC∫csc2xdx−cotxC∫secxtanxdxsecxC∫cscxcotxdx−cscxC∫1−x2​1​dxarcsinxC五、常用积分方法与公式4 类换元积分法第一、第二类分部积分法∫udvuv−∫vdu有理函数积分部分分式分解三角代换sin,tan,sec 代换六、定积分常用性质略不算独立公式主要是线性、区间可加性、估值定理、中值定理等。合计36 条核心公式 / 法则三、暂且总结一看思维就会一看公式就废。未完待续。。。。。。注部分微积分知识来源于网络和豆包。