鲁棒估计与5点算法求解本质矩阵

发散无法保证找到全局正确的解。鉴于5点算法的代数复杂性和实现难度涉及高次多项式求根、病态方程处理等并且考虑到本系列文章的核心主题是数值优化而非代数几何我们在此不展开其繁琐的数学推导和代码实现细节。感兴趣的读者可以深入研读David Nistér的原始论文《An Efficient Solution to the Five-Point Relative Pose Problem》。在工程实践中我们更倾向于直接使用经过充分测试和高度优化的开源库如OpenGV它为我们提供了简洁、高效的5点算法接口让我们能够专注于更高层次的系统构建与优化。在 OpenGV 中调用5点算法的实现如下所示opengv::essentials_t estimateEssentialMatrix( const std::vectorEigen::Vector3d points1, const std::vectorEigen::Vector3d points2) { opengv::bearingVectors_t bv1, bv2; for (size_t i 0; i 5; i) { bv1.push_back(points1[i]); bv2.push_back(points2[i]); } opengv::relative_pose::CentralRelativeAdapter adapter(bv1, bv2); // 正确API opengv::essentials_t essential_matrices opengv::relative_pose::fivept_nister(adapter); return essential_matrices; }2.2 RANSAC在真实世界中我们面对的是一大堆混杂着大量错误匹配外点的数据。直接将5点算法应用于任意5个点极大概率会因为选中外点而得到一个完全错误的模型。那么如何才能从这堆“鱼龙混杂”的数据中找到那个由真实内点所决定的正确模型呢RANSACRandom Sample Consensus随机抽样一致性正是为解决此类问题而生的经典鲁棒估计算法。它的核心思想出奇地简单、优雅且强大。2.2.1 基本直觉想象你有一袋混合了红豆和绿豆的豆子你的任务是找出红豆的大小。但问题是你不知道哪些是红豆哪些是绿豆并且绿豆的数量可能远多于红豆。RANSAC 的策略是随机抓一把闭上眼睛随机从袋子里抓出最少数量的豆子比如5颗假设它们都是红豆。估算模型根据这5颗“假设的红豆”来估算红豆的平均大小。验证假设拿着这个“红豆大小模型”去检查袋子里所有的豆子。把那些大小与模型预测值接近的豆子比如误差在1mm以内都挑出来这些就是本次假设下的“一致集Consensus Set”。评估好坏数一数这个“一致集”里有多少颗豆子。如果数量足够多比如超过80%那么我们就认为这次的假设很可能是对的这个模型就是我们要找的红豆大小。重复尝试如果“一致集”太小说明这次抓到的5颗豆子里很可能混入了绿豆这次假设失败。没关系我们把豆子放回去重复以上过程很多次。选择最佳在所有尝试中选择那个拥有最大一致集的模型作为最终结果。在计算机视觉中“豆子”就是特征匹配点对“红豆”是内点“绿豆”是外点“红豆大小”就是我们要求解的几何模型如本质矩阵 E。2.2.2 标准流程将上述直觉形式化RANSAC求解本质矩阵的标准步骤如下确定参数n最小采样数。对于本质矩阵n 5。k最大迭代次数。t内点判定阈值。d内点数量阈值。当一致集大小超过d时即可提前终止并接受该模型。循环k次或直到找到足够好的模型a. 随机采样从总共N对匹配点中均匀且随机地抽取n5对点构成一个假设的内点集。b. 模型生成使用这5对点调用5点算法计算出所有可能的本质矩阵候选解。c. 模型验证对于每一个候选解 Ecandidate遍历所有N对匹配点。计算每对点 (~x1,~x2)(~1,~2) 到当前模型的几何距离通常是 Sampson 距离或对极线距离。如果该距离小于阈值t则将此点对标记为该模型的内点。统计该模型的内点总数。d. 选择最佳候选从5点算法返回的多个候选解中选择内点数最多的那个作为本次迭代的最佳模型。e. 更新全局最优如果本次迭代的最佳模型拥有的内点数比历史上所有迭代中找到的模型都多则将其记录为当前全局最优模型。最终优化使用全局最优模型所对应的内点集。将这些干净的内点送入一个非线性优化器对模型进行精细化调整以获得最高精度的结果。2.2.3 有效验证RANSAC的有效性源于概率。假设数据集中内点的比例为 p例如70%那么一次随机抽取5个点全部是内点的概率为 p55。虽然单次概率不高0.75≈0.1680.75≈0.168但通过多次尝试例如1000次至少成功一次的概率会变得非常高1−(1−p5)k1−(1−5)。一旦有一次采样全是内点5点算法就能恢复出正确的模型而这个正确模型在验证阶段会吸引到几乎所有的内点从而形成一个巨大的一致集使其在竞争中胜出。通过这种方式RANSAC巧妙地绕开了对外点的直接处理而是专注于寻找那个能被最多数据点支持的模型从而实现了对高比例外点的强大鲁棒性。3 实例基于以上理论具体的代码实现如下#include ceres/ceres.h #include Eigen/Core #include Eigen/Geometry #include iomanip #include iostream #include opengv/relative_pose/CentralRelativeAdapter.hpp #include opengv/sac/Ransac.hpp #include opengv/sac_problems/relative_pose/CentralRelativePoseSacProblem.hpp #include random #include vector using namespace std; using namespace Eigen; constexpr double PI 3.14159265358979323846; using Vector9d Eigen::Matrixdouble, 9, 1; // // 工具函数 // Eigen::Matrix3d Vec2Mat(const Vector9d e) { return Eigen::Mapconst Eigen::Matrix3d(e.data()); } Vector9d Mat2Vec(const Eigen::Matrix3d E) { return Eigen::Mapconst Vector9d(E.data()); } // Sampson 距离计算 double SampsonDistance(const Eigen::Matrix3d E, const Eigen::Vector3d x1, const Eigen::Vector3d x2) { double c x2.transpose() * E * x1; Eigen::Vector3d Ex1 E * x1; Eigen::Vector3d ETx2 E.transpose() * x2; double denom Ex1.squaredNorm() ETx2.squaredNorm(); if (denom 1e-12) return 1e10; return c * c / denom; } // 对极约束残差x2^T E x1 double EpipolarResidual(const Eigen::Matrix3d E, const Eigen::Vector3d x1, const Eigen::Vector3d x2) { return x2.transpose() * E * x1; } // // Ceres 残差块Sampson 误差 // struct SampsonError { SampsonError(const Eigen::Vector3d x1, const Eigen::Vector3d x2) : x1_(x1), x2_(x2) {} template typename T bool operator()(const T* const e_ptr, T* residual) const { Eigen::Mapconst Eigen::MatrixT, 3, 3, Eigen::ColMajor E(e_ptr); Eigen::MatrixT, 3, 1 x1_h(T(x1_(0)), T(x1_(1)), T(x1_(2))); Eigen::MatrixT, 3, 1 x2_h(T(x2_(0)), T(x2_(1)), T(x2_(2))); T c x2_h.transpose() * E * x1_h; Eigen::MatrixT, 3, 1 Ex1 E * x1_h; Eigen::MatrixT, 3, 1 ETx2 E.transpose() * x2_h; T denom Ex1.squaredNorm() ETx2.squaredNorm(); if (denom T(1e-12)) { residual[0] T(1e5); } else { residual[0] ceres::sqrt(c * c / denom); } return true; } static ceres::CostFunction* Create(const Eigen::Vector3d x1, const Eigen::Vector3d x2) { return new ceres::AutoDiffCostFunctionSampsonError, 1, 9( new SampsonError(x1, x2)); } private: Eigen::Vector3d x1_, x2_; }; // // 辅助函数计算归一化变换矩阵 T // Eigen::Matrix3d ComputeNormalization( const std::vectorEigen::Vector3d points) { Eigen::Vector2d centroid(0, 0); for (const auto p : points) { centroid p.head2(); } centroid / points.size(); double avg_dist 0.0; for (const auto p : points) { avg_dist (p.head2() - centroid).norm(); } avg_dist / points.size(); double scale sqrt(2.0) / avg_dist; Eigen::Matrix3d T Eigen::Matrix3d::Identity(); T(0, 0) T(1, 1) scale; T(0, 2) -scale * centroid(0); T(1, 2) -scale * centroid(1); return T; } // // 8点算法实现 // Eigen::Matrix3d EightPointAlgorithm(const std::vectorEigen::Vector3d x1s, const std::vectorEigen::Vector3d x2s) { Eigen::Matrix3d T1 ComputeNormalization(x1s); Eigen::Matrix3d T2 ComputeNormalization(x2s); std::vectorEigen::Vector3d nx1s, nx2s; for (size_t i 0; i x1s.size(); i) { nx1s.push_back(T1 * x1s[i]); nx2s.push_back(T2 * x2s[i]); } size_t N nx1s.size(); Eigen::MatrixXd A(N, 9); for (size_t i 0; i N; i) { double u1 nx1s[i](0), v1 nx1s[i](1); double u2 nx2s[i](0), v2 nx2s[i](1); A.row(i) u1 * u2, v1 * u2, u2, u1 * v2, v1 * v2, v2, u1, v1, 1.0; } Eigen::JacobiSVDEigen::MatrixXd svd(A, Eigen::ComputeFullV); Vector9d e svd.matrixV().col(8); Eigen::Matrix3d E_tilde Vec2Mat(e); Eigen::JacobiSVDEigen::Matrix3d svd_E( E_tilde, Eigen::ComputeFullU | Eigen::ComputeFullV); Eigen::Vector3d s svd_E.singularValues(); double avg (s(0) s(1)) / 2.0; Eigen::Matrix3d E_normalized svd_E.matrixU() * Eigen::DiagonalMatrixdouble, 3, 3(avg, avg, 0.0) * svd_E.matrixV().transpose(); return T2.transpose() * E_normalized * T1; } // 归一化 E 使得 ||E||_F 1 Eigen::Matrix3d NormalizeEssentialMatrix(const Eigen::Matrix3d E) { return E / E.norm(); } //基于 Sampson 误差的非线性优化 Eigen::Matrix3d OptimizeSampsonError(Eigen::Matrix3d E_init, const std::vectorEigen::Vector3d x1s, const std::vectorEigen::Vector3d x2s) { Vector9d e_opt Mat2Vec(E_init); ceres::Problem problem; for (int i 0; i x1s.size(); i) { problem.AddResidualBlock(SampsonError::Create(x1s[i], x2s[i]), nullptr, e_opt.data()); } ceres::Solver::Options options; options.linear_solver_type ceres::DENSE_QR; options.minimizer_progress_to_stdout true; options.max_num_iterations 50; ceres::Solver::Summary summary; ceres::Solve(options, problem, summary); std::cout \n summary.BriefReport() \n; Eigen::Matrix3d E_opt Vec2Mat(e_opt); // 投影回本质矩阵流形强制 σ1σ2, σ30 Eigen::JacobiSVDEigen::Matrix3d svd( E_opt, Eigen::ComputeFullU | Eigen::ComputeFullV); Eigen::Vector3d s svd.singularValues(); double avg (s(0) s(1)) / 2.0; Eigen::Matrix3d E_final svd.matrixU() * Eigen::DiagonalMatrixdouble, 3, 3(avg, avg, 0.0) * svd.matrixV().transpose(); return E_final; } void GenerateData(int N_total, const Eigen::Matrix3d K, const Eigen::Matrix3d R_gt, const Eigen::Vector3d t_gt, const Eigen::Matrix3d E_gt, std::vectorEigen::Vector3d x1s, std::vectorEigen::Vector3d x1s_noisy, std::vectorEigen::Vector3d x2s, std::vectorEigen::Vector3d x2s_noisy) { std::mt19937 gen(42); // 内点数量70% int N_inliers static_castint(N_total * 0.7); int N_outliers N_total - N_inliers; // 1. 生成内点真实投影 噪声 std::uniform_real_distributiondouble x_dist(-2.0, 2.0); std::uniform_real_distributiondouble y_dist(-2.0, 2.0); std::uniform_real_distributiondouble z_dist(4.0, 8.0); std::normal_distributiondouble noise(0.0, 1.0); // 像素噪声 for (int i 0; i N_inliers; i) { Eigen::Vector3d Pw(x_dist(gen), y_dist(gen), z_dist(gen)); // 投影到相机1 Eigen::Vector3d Pc1 Pw; double u1 K(0, 0) * Pc1(0) / Pc1(2) K(0, 2); double v1 K(1, 1) * Pc1(1) / Pc1(2) K(1, 2); // 投影到相机2 Eigen::Vector3d Pc2 R_gt * Pw t_gt; double u2 K(0, 0) * Pc2(0) / Pc2(2) K(0, 2); double v2 K(1, 1) * Pc2(1) / Pc2(2) K(1, 2); // 加像素噪声 double u1_noisy u1 noise(gen); double v1_noisy v1 noise(gen); double u2_noisy u2 noise(gen); double v2_noisy v2 noise(gen); // 转为归一化坐标 Eigen::Vector3d pixel1(u1, v1, 1); Eigen::Vector3d pixel2(u2, v2, 1); Eigen::Vector3d pixel1_noisy(u1_noisy, v1_noisy, 1); Eigen::Vector3d pixel2_noisy(u2_noisy, v2_noisy, 1); Eigen::Vector3d x1 (K.inverse() * pixel1).normalized(); Eigen::Vector3d x2 (K.inverse() * pixel2).normalized(); Eigen::Vector3d x1_noisy (K.inverse() * pixel1_noisy).normalized(); Eigen::Vector3d x2_noisy (K.inverse() * pixel2_noisy).normalized(); x1s.push_back(x1); x2s.push_back(x2); x1s_noisy.push_back(x1_noisy); x2s_noisy.push_back(x2_noisy); } // 2. 生成外点完全随机方向 for (int i 0; i N_outliers; i) { // 方法从单位球面前半球随机采样 Eigen::Vector3d dir1, dir2; do { dir1 Eigen::Vector3d::Random(); } while (dir1.z() 0 || dir1.norm() 1e-6); do { dir2 Eigen::Vector3d::Random(); } while (dir2.z() 0 || dir2.norm() 1e-6); dir1.normalize(); dir2.normalize(); x1s.push_back(dir1); x2s.push_back(dir2); x1s_noisy.push_back(dir1); x2s_noisy.push_back(dir2); } // 3. 打乱数据顺序保持对应关系 std::vectorsize_t indices(N_total); std::iota(indices.begin(), indices.end(), 0); std::shuffle(indices.begin(), indices.end(), gen); auto x1s_old x1s; auto x1s_noisy_old x1s_noisy; auto x2s_old x2s; auto x2s_noisy_old x2s_noisy; for (size_t i 0; i N_total; i) { x1s[i] x1s_old[indices[i]]; x1s_noisy[i] x1s_noisy_old[indices[i]]; x2s[i] x2s_old[indices[i]]; x2s_noisy[i] x2s_noisy_old[indices[i]]; } std::cout Generated N_total correspondences: N_inliers inliers N_outliers outliers ( (100.0 * N_outliers / N_total) % outliers)\n\n; } // RANSAC 5-point (OpenGV) // 返回Essential Matrix inlier mask std::pairEigen::Matrix3d, std::vectorbool EstimateEssentialMatrixRansac( const std::vectorEigen::Vector3d x1s, const std::vectorEigen::Vector3d x2s, double pixel_threshold 1.0, double focal_length 500.0, int max_iterations 1000) { size_t N x1s.size(); if (x1s.size() ! x2s.size() || x1s.size() 5) { std::cerr Not enough correspondences.\n; return {Eigen::Matrix3d::Identity(), std::vectorbool(N, false)}; } // OpenGV expects unit bearing vectors opengv::bearingVectors_t b1(x1s.begin(), x1s.end()); opengv::bearingVectors_t b2(x2s.begin(), x2s.end()); opengv::relative_pose::CentralRelativeAdapter adapter(b1, b2); //中心相机模型下的相对位姿 SAC 问题 using SacProblem opengv::sac_problems::relative_pose::CentralRelativePoseSacProblem; auto problem std::make_sharedSacProblem(adapter, SacProblem::NISTER); opengv::sac::RansacSacProblem ransac; ransac.sac_model_ problem; // 将像素级内点阈值如1.0像素转换为OpenGV所需的弦距离阈值 // 步骤pixel → 近似视角θ ≈ pixel/f → 弦距离 2*sin(θ/2) double theta_approx pixel_threshold / focal_length; // 小角度近似: θ ≈ tanθ pixel/f ransac.threshold_ 2.0 * sin(theta_approx / 2.0); // 转换为单位球面上的弦距离 ransac.max_iterations_ max_iterations; if (!ransac.computeModel()) { std::cerr RANSAC failed.\n; return {Eigen::Matrix3d::Identity(), std::vectorbool(N, false)}; } // OpenGV 返回的是 3x4 pose matrix [R | t] Eigen::Matrixdouble, 3, 4 Rt ransac.model_coefficients_; Eigen::Matrix3d R Rt.leftCols3(); Eigen::Vector3d t Rt.rightCols1(); // 构造 skew-symmetric matrix Eigen::Matrix3d t_hat; t_hat 0, -t.z(), t.y(), t.z(), 0, -t.x(), -t.y(), t.x(), 0; Eigen::Matrix3d E t_hat * R; // inlier mask std::vectorbool inliers(N, false); for (int idx : ransac.inliers_) { if (idx 0 idx static_castint(N)) inliers[idx] true; } std::cout RANSAC inliers: ransac.inliers_.size() / N std::endl; return {E, inliers}; } // // 主函数仅评估 E // int main() { std::cout std::fixed std::setprecision(6); // 1. Ground Truth Essential Matrix Eigen::Matrix3d K; // 相机内参矩阵 K 的定义 K 500, 0, 320, 0, 500, 240, 0, 0, 1; Eigen::Matrix3d R_gt Eigen::AngleAxisd(PI / 6.0, Eigen::Vector3d::UnitY()).toRotationMatrix(); Eigen::Vector3d t_gt(0.8, -0.2, 0.5); Eigen::Matrix3d t_skew; t_skew 0, -t_gt(2), t_gt(1), t_gt(2), 0, -t_gt(0), -t_gt(1), t_gt(0), 0; Eigen::Matrix3d E_gt t_skew * R_gt; std::cout Ground Truth Essential Matrix \n; std::cout E_gt \n\n; // 2. 生成带噪声的归一化图像点 int N 120; std::vectorEigen::Vector3d x1s, x1s_noisy; std::vectorEigen::Vector3d x2s, x2s_noisy; GenerateData(N, K, R_gt, t_gt, E_gt, x1s, x1s_noisy, x2s, x2s_noisy); // 3. RANSAC 5点算法 auto [E_ransac, inlier_mask] EstimateEssentialMatrixRansac(x1s_noisy, x2s_noisy, 1.0, 500, 1000); // 提取内点 std::vectorEigen::Vector3d x1_inliers, x2_inliers; for (size_t i 0; i x1s_noisy.size(); i) { if (inlier_mask[i]) { x1_inliers.push_back(x1s_noisy[i]); x2_inliers.push_back(x2s_noisy[i]); } } x1s_noisy.swap(x1_inliers); x2s_noisy.swap(x2_inliers); N (int)x1s_noisy.size(); // 4. 初值8点算法 Eigen::Matrix3d E_8pt EightPointAlgorithm(x1s_noisy, x2s_noisy); std::cout 8-Point Estimate \n; std::cout E_8pt \n\n; // 5. 非线性优化Sampson 误差 Eigen::Matrix3d E_final OptimizeSampsonError(E_8pt, x1s_noisy, x2s_noisy); std::cout Final Optimized E (Projected) \n; std::cout E_final \n\n; // 6. 评估三项指标 double sampson_8pt 0.0, sampson_final 0.0; double epipolar_mse_8pt 0.0, epipolar_mse_final 0.0; for (int i 0; i N; i) { sampson_8pt SampsonDistance(E_8pt, x1s_noisy[i], x2s_noisy[i]); sampson_final SampsonDistance(E_final, x1s_noisy[i], x2s_noisy[i]); double r1 EpipolarResidual(E_8pt, x1s_noisy[i], x2s_noisy[i]); double r2 EpipolarResidual(E_final, x1s_noisy[i], x2s_noisy[i]); epipolar_mse_8pt r1 * r1; epipolar_mse_final r2 * r2; } sampson_8pt / N; sampson_final / N; epipolar_mse_8pt / N; epipolar_mse_final / N; // 归一化 Frobenius 距离代数相似性 Eigen::Matrix3d E_gt_norm NormalizeEssentialMatrix(E_gt); Eigen::Matrix3d E_8pt_norm NormalizeEssentialMatrix(E_8pt); Eigen::Matrix3d E_final_norm NormalizeEssentialMatrix(E_final); double frob_8pt (E_8pt_norm - E_gt_norm).norm(); double frob_final (E_final_norm - E_gt_norm).norm(); // 6. 输出评估结果 std::cout Evaluation Summary \n; std::cout Metric | 8-Point | Optimized\n; std::cout ---------------------------|---------------|------------\n; std::cout Avg Sampson Error | setw(13) sampson_8pt | sampson_final \n; std::cout Avg |x2^T E x1|^2 (MSE) | setw(13) epipolar_mse_8pt | epipolar_mse_final \n; std::cout Normalized Frobenius Dist | setw(13) frob_8pt | frob_final \n\n; // 7. 结论性说明 std::cout Interpretation:\n; std::cout - Lower Sampson error and epipolar MSE indicate better geometric consistency.\n; std::cout - Smaller normalized Frobenius distance suggests closer algebraic alignment with ground truth.\n; std::cout - In practice, geometric metrics (Sampson, epipolar residual) are more reliable than Frobenius distance.\n; return 0; }整个流程的关键在于EstimateEssentialMatrixRansac函数的实现。OpenGV 巧妙地封装了 RANSAC 框架及其内部的 5 点最小解法使得我们能够以极简的接口完成鲁棒的本质矩阵估计。该函数的核心步骤包括数据准备将输入的归一化匹配点转换为 OpenGV 所需的bearingVectors_t格式。适配器构建创建CentralRelativeAdapter用于管理两视图的观测数据。SAC 问题定义指定使用CentralRelativePoseSacProblem并选择NISTER即5点算法作为最小解法。RANSAC 配置与执行设置内点判定阈值将像素误差转换为归一化空间的角度误差和最大迭代次数然后调用computeModel()执行完整的 RANSAC 流程。结果后处理从 OpenGV 返回的[R|t]姿态矩阵中重构出本质矩阵 E并生成内点掩码。关于阈值的几何意义OpenGV 在判断一个点是否为内点时并非直接使用角度或像素误差而是采用两个单位方向向量即归一化坐标之间的弦距离chordal distance其定义为 ∥b1−b2∥2sin(θ/2)‖1−2‖2sin⁡(/2)其中 θ 是两向量间的夹角。用户通常以像素误差如 1 像素的形式指定容差。在针孔模型中该误差对应视角偏差满足 tanθpixel/ftan⁡pixel/。由于实际应用中 pixel/f≪1pixel/≪1例如 1/5001/500可安全使用小角度近似 θ≈pixel/f≈pixel/。于是对应的弦距离阈值即为 2sin(θ/2)≈2sin((pixel/f)/2)2sin⁡(/2)≈2sin⁡((pixel/)/2)。代码中angle pixel_threshold / focal_length正是这一近似的体现而2 * sin(angle / 2)则完成了从像素误差到 OpenGV 所需弦距离阈值的精确几何转换。这种处理既保持了计算效率又确保了内点判定的几何一致性。另一个关键环节在于EstimateEssentialMatrixRansac成功识别出内点后我们将这些“清洗”过的内点传递给经典的8点算法以获得一个良好的初值继而利用Ceres进行基于 Sampson 误差的非线性优化从而在几何上精炼最终的模型。程序运行后输出结果如下所示 Ground Truth Essential Matrix 0.100000 -0.500000 -0.173205 0.833013 0.000000 -0.442820 0.173205 0.800000 0.100000 Generated 120 correspondences: 84 inliers 36 outliers (30.000000% outliers) RANSAC inliers: 86 / 120 8-Point Estimate 0.141962 4.320688 0.875926 -4.116816 0.914296 -4.538002 -0.780423 1.559083 -0.631194 iter cost cost_change |gradient| |step| tr_ratio tr_radius ls_iter iter_time total_time 0 9.841825e-02 0.00e00 1.99e-01 0.00e00 0.00e00 1.00e04 0 1.53e-04 3.04e-04 1 1.817917e-02 8.02e-02 3.08e-02 0.00e00 9.89e-01 3.00e04 1 1.55e-04 5.60e-04 2 3.119957e-02 -1.30e-02 3.08e-02 8.50e00 -1.18e00 1.50e04 1 5.10e-05 7.54e-04 3 3.057134e-02 -1.24e-02 3.08e-02 8.16e00 -1.12e00 3.75e03 1 1.96e-05 8.80e-04 4 2.226714e-02 -4.09e-03 3.08e-02 6.80e00 -3.77e-01 4.69e02 1 2.52e-05 9.99e-04 5 7.969384e-03 1.02e-02 9.53e-03 4.23e00 1.06e00 1.41e03 1 1.73e-04 1.45e-03 6 4.996285e-03 2.97e-03 1.75e-02 5.00e00 7.21e-01 1.54e03 1 1.18e-04 1.83e-03 7 2.694957e-03 2.30e-03 6.79e-03 1.92e00 9.85e-01 4.62e03 1 1.20e-04 2.23e-03 8 2.451344e-03 2.44e-04 1.73e-04 3.99e-01 1.05e00 1.39e04 1 1.51e-04 2.67e-03 9 2.447292e-03 4.05e-06 1.46e-05 1.20e-01 1.28e00 4.16e04 1 1.15e-04 3.05e-03 10 2.446955e-03 3.36e-07 4.12e-06 3.49e-02 1.29e00 1.25e05 1 1.02e-04 3.33e-03 11 2.446927e-03 2.86e-08 1.22e-06 1.02e-02 1.29e00 3.74e05 1 1.06e-04 3.58e-03 Ceres Solver Report: Iterations: 12, Initial cost: 9.841825e-02, Final cost: 2.446927e-03, Termination: CONVERGENCE Final Optimized E (Projected) -1.590565 1.745187 2.234801 -0.628001 0.065600 -2.317624 -2.207515 1.526189 -1.496869 Evaluation Summary Metric | 8-Point | Optimized ---------------------------|---------------|------------ Avg Sampson Error | 0.002289 | 0.000518 Avg |x2^T E x1|^2 (MSE) | 0.072808 | 0.010068 Normalized Frobenius Dist | 1.581131 | 1.437171 Interpretation: - Lower Sampson error and epipolar MSE indicate better geometric consistency. - Smaller normalized Frobenius distance suggests closer algebraic alignment with ground truth. - In practice, geometric metrics (Sampson, epipolar residual) are more reliable than Frobenius distance.从这个输出结果可以看到RANSAC 表现在包含 30% 外点的数据集中RANSAC 成功识别出 86 个内点非常接近真实的 84 个内点证明了其强大的鲁棒性。多出的 2 个点很可能是外点中恰好满足所估计本质矩阵对极约束的“伪内点”pseudo-inliers这在存在噪声和有限阈值的情况下是正常现象。