函数极限的概念和性质

种树最好的时机是十年前或者是现在记住只要你开始学了就什么时候都不晚。本文参考张宇考研数学的学习笔记。1.领域的概念设为数轴上的一个点为为正数则称为的领域。由于领域是极限中的概念不存在任何实际距离说法。其中去心领域就是不包含设个点的区间左右领域分别处于数轴上的的左右。注意领域定义是开区间。2.函数极限定义设函数在点的某一去心领域内有定义若存在常数A对于任意给定的0(不论这个有多小)总是存在正数使得当时对应的函数值都满足不等式对应的函数都满足不等式,则A 叫做函数当的极限。公式表达为笔记结合这些年的工作首先光学一个数学知识靠死记硬背是无法理解其中的含义的有些聪明的人刚学就知道背后的意义像我这笨笨的只能死记硬背。例如极限现在回看极限以我的理解来看极限解决的是函数之间在某个点变化量导数概念的大小可能这个函数本身在这点没有定义域但是极限拆分后可以做到。例如x和sinx在零点可以等价本身这个函数sinx/x在零点没有定义但在零点的变化尺度是一致的所以等于1。这就是极限中函数中除法的意义当然拆分的函数也是都要满足连续的。但是无穷小的阶数存在差异例如例如x-sinx)这个趋于零的无穷小通过泰勒级数展开就存在高阶部分x和sinx并不相同x-sinx作为新函数的变化趋势就不等等于x或者sinx。延申概念公理实数系中存在对于任意大的自然数n,均有,则 x 0,这使得实数系中不存在非零无穷小量及其倒数无穷大量。1.超实数中非零无穷小量与无穷大量若对于任意大的自然数m均有且为非零无穷小量其倒数为无穷大量。2.超实数设为任意实数则为有限超实数则为无穷超实数无穷大量3.超实数系实数系,非零无穷小量无穷大量构成超实数系不存在实数中。4.超实数与极限的关系与运算例如其中在未作极限运算时为实数运算为趋核运算此时的称为超实数的结果为核值1.3.函数极限运算顺序设运算顺序为1.为实数运算2.为 趋核运算A为核值当A唯一时称趋核运算存在存在否则不存在。笔记当时学习的时候根本不知道这种意识老师可能讲过但是没有注意听现在复习的时候才恍然大悟极限存在于超实数概念中运算的结果趋于核所以进行变换时先做实数域上的运算然后才能趋核运算例如上面的x和sinx并不相同所以运算前x-sinx就不能替代为x-x。所以之后的洛必达法则通过求导化简就是解决计算实数中无法计算的部分。4.函数极限的性质唯一性如果极限存在那么极限唯一。例如首先趋于无穷时候不存在唯一值所以不存在极限。充分必要条件左右极限存在且相等。笔记极限点是不存在于实数轴上的首先要明白这个概念不然左右极限无法理解与实数轴上的值是没有关系。例如左右极限分辨别是0和正无穷所有这个函数极限不存在。局部有界性如果,则存在正常数M和使得当,有.极限存在是局部有界的充分条件但是局部有界无法推导出函数极限存在例如sinx在x趋于正无穷或者负无穷的情况。若f(x)在[a,b]上为连续函数则函数在[a,b]上必定有界。若f(x)在(a,b)上为连续函数且函数在存在函数在(a,b)上必定有界。有界函数加减乘有界函数仍然是有界。除法需要另行考虑。局部保号性如果且A0那么在存在常数大于0使得时有.如果在的某去心领域内且则。负数是同样的概念。笔记极限周围的超实数范围具有保号性不会改变符号。5.函数极限运算定律这个不解释了这个比较简单满足乘法交换律和加减法定律。有界函数例如sinx与无穷小的乘积是无穷小常数*无穷小 无穷小有限个无穷小 无穷小笔记无穷个无穷小就不一定是无穷小了例如,则如果B不等于0笔记很多人会把sinx 等价替换为x,其实要满足极限存在定律才能等价替换例如乘法等价替换时必须证明每一个函数极限存在才能等价替换因为这个是超实数。计算超实数需要进行实数运算实数运算并不支持等价替换。一般推导如果 n m , 0如果 n m , 如果 n m, .特殊情况如果不存在或者无穷大则也是不存在或者无穷大的。但是可能存在也可能不存在。如果不存在或者无穷大则可能存在也可能不存在。笔记可以先当作初等函数进行加减法的计算这样计算之后再求极限。6.函数极限的比阶无穷小有高阶A/B 0同阶A/B C,低阶A/B 无限的概念两个无穷大需要需要进行无穷小转换才能比较。 比阶的情况下0是最高阶的无穷小。注意的是并不是任意两个两个无穷小都可以进行比阶的。笔记这个很好理解就是先做实数域的运算算出核其中核的规律见上面的一般推导。无穷小常用的等价无穷小有一下几个n方差公式证明笔记 一般都是使用夹逼准则来确定极限的。极限的唯一性。