从“2D转3D”看图形学的数学本质

之所以能“欺骗”我们的眼睛靠的是透视Perspective。在现实中光线沿直线传播。远处的物体在视网膜上成像小近处的成像大即“近大远小”。计算机要实现 3D 效果本质上就是要把空间中的3D 坐标 (x, y, z)通过某种规则变换成屏幕上的2D 坐标 (x, y)。几何建模寻找相似三角形为了找到这个变换规则我们可以构建一个极简的几何模型。想象你正坐在屏幕前观察点你的眼睛。投影面你面前的电脑屏幕设中心为原点。3D 物体屏幕后方空间里的一个点坐标为 (,,)其中 是它距离你眼睛的深度。当光线从物体出发射向你的眼睛时必然会穿过屏幕。这个交点就是该物体在屏幕上显示的正确位置。如果我们从侧面观察这个模型以眼睛、屏幕交点、物体真实位置为顶点可以构建出两个相似三角形数学表达利用初中数学中“相似三角形对应边成比例”的原理设眼睛到屏幕的距离为 类似于相机的焦距我们可以推导出屏幕坐标 ′ 与空间坐标 , 的关系′⟹′⋅同理对于 轴′⋅这就是 3D 图形学的基本原理3D 转 2D 的本质就是“除以 Z”。当物体走远时 变大除出来的结果 ′,′ 就越小向屏幕中心收缩。当物体靠近时 变小除出来的结果变大向屏幕边缘扩张。这就是为什么我们在走廊里往前走两边的墙壁会向四周“散开”的原因。从数据到画面像构建 WAV 一样构建 3D我们可以通过几个运用先前给出的公式完成3d图形绘制的例子来证明该公式的正确性import turtle # --- 1. 核心数学规则透视投影 --- def project(x, y, z): 本质公式x x / z, y y / z 我们乘上一个系数 400 (视距 d)是为了让画面大一点方便观察 d 400 x_2d (x / z) * d y_2d (y / z) * d return x_2d, y_2d # --- 2. 定义 3D 数据 (8个顶点的 x, y, z) --- # 我们让前四个点的 z2 (近)后四个点的 z3 (远) vertices [ # 前面的四个顶点 (z2, 离眼睛近看起来大) [-1, -1, 2], [1, -1, 2], [1, 1, 2], [-1, 1, 2], # 后面的四个顶点 (z3, 离眼睛远看起来小) [-1, -1, 3], [1, -1, 3], [1, 1, 3], [-1, 1, 3] ] # 定义哪些点需要连成线 (索引号) edges [ (0,1), (1,2), (2,3), (3,0), # 连接前脸的4条边 (4,5), (5,6), (6,7), (7,4), # 连接后脸的4条边 (0,4), (1,5), (2,6), (3,7) # 连接前后脸的4条纵向边 ] # --- 3. 执行投影计算 --- # 将 3D 坐标转换成 2D 坐标 points_2d [] for v in vertices: p_2d project(v[0], v[1], v[2]) points_2d.append(p_2d) # --- 4. 绘图部分 --- screen turtle.Screen() screen.title(2D转3D本质演示静态立方体) t turtle.Turtle() t.pensize(2) t.speed(1) # 慢速绘图观察过程 for edge in edges: start_idx edge[0] end_idx edge[1] # 移动到起点 t.up() t.goto(points_2d[start_idx]) # 画线到终点 t.down() t.goto(points_2d[end_idx]) t.hideturtle() print(绘制完成观察近处的面z2是否比远处的面z3大) turtle.done()这个例子演示了一个静态的立方体是如何绘制的当然有人会说只要打好点也能做到与程序类似的效果那么我们在用一个动态的旋转立方体来证明公式的正确性import turtle import math import time # --- 1. 核心数学规则透视投影 --- def project(x, y, z, fov, viewer_distance): 将 3D 坐标变换为 2D 坐标 本质公式x x / z, y y / z # 这里的 z 需要加上 viewer_distance防止物体就在眼睛上导致除以 0 factor fov / (viewer_distance z) x_2d x * factor y_2d y * factor return x_2d, y_2d # --- 2. 定义立方体的数据结构 --- # 8个顶点 (x, y, z) vertices [ [-1, -1, 1], [1, -1, 1], [1, 1, 1], [-1, 1, 1], [-1, -1, -1], [1, -1, -1], [1, 1, -1], [-1, 1, -1] ] # 12条棱 (连接顶点的索引) edges [ (0,1), (1,2), (2,3), (3,0), # 前面 (4,5), (5,6), (6,7), (7,4), # 后面 (0,4), (1,5), (2,6), (3,7) # 连接前后的线 ] # --- 3. 设置画布 --- screen turtle.Screen() screen.bgcolor(black) screen.setup(width600, height600) screen.tracer(0) # 关闭自动刷新手动控制动画 t turtle.Turtle() t.ht() # 隐藏画笔图标 t.color(#00FF00) # 极客绿 t.pensize(2) # --- 4. 动画循环 --- angle 0 while True: t.clear() # 存储投影后的 2D 点 projected_points [] # 每一帧都旋转一下坐标让它动起来 angle 0.02 for v in vertices: # 旋转矩阵简单的绕 Y 轴和 X 轴旋转数学 # 这一步是为了让数据“动”起来不是投影的本质 x, y, z v # 绕 Y 轴转 nx x * math.cos(angle) - z * math.sin(angle) nz x * math.sin(angle) z * math.cos(angle) # 绕 X 轴转 ny y * math.cos(angle*0.7) - nz * math.sin(angle*0.7) nz y * math.sin(angle*0.7) nz * math.cos(angle*0.7) # --- 调用本质公式 --- # fov(视距)设为 400viewer_distance(物体离眼睛距离)设为 4 p2d project(nx, ny, nz, 400, 4) projected_points.append(p2d) # 绘制棱 for edge in edges: p1 projected_points[edge[0]] p2 projected_points[edge[1]] t.up() t.goto(p1) t.down() t.goto(p2) screen.update() # 刷新屏幕 time.sleep(0.01) turtle.done()这个样例中同样使用了刚才给出的公式不过增加了一个新的公式用于控制向量的旋转即线条的旋转以实现旋转的效果