考研数学二图鉴——多元函数微分学

同样是数二在各种题型都会考察的重中之重可以联系一元函数的区别进行对比。为什么连续和可导都不能互推?多元连续只能保证曲面没有缺口但曲面可能有尖峰因此不一定处处多元可导偏导存在只保证沿坐标轴方向的变化率存在不能保证任何方向的光滑性甚至不能保证曲面连续即别的方向可能存在缺口。函数多元可微在几何意义来说就是光滑曲面因此它可以推出没有缺口的曲面或者坐标轴方向存在变化率但反之均不能单独推两者联合也推不出“全局光滑”通常要求区域内的每一点都可微且偏导连续而这里我们只谈一点处的结论只要该点的一阶偏导连续该点就可微——即可微也是保证那一点存在所谓的光滑曲面并不是真正的整个定义域都是光滑的。抛开几何角度来看一阶偏导数连续必定可以出全概率公式因此可微接下来看具体的题型分类一.显函数计算偏导数最基础的一种真题大概率只会在大题的多元极值里面才会考察。除了直接算的类型还要熟记偏导数的定义式二.利用全微分定义计算偏导数全微分定义为这种方式最常用在隐函数求偏导确定的隐函数zz(xy)计算偏导数两侧全微分还有全微分形式的不变性设求。所以三.隐函数计算偏导数若F(x,y,z)有一阶连续偏导且z(x,y)由F(x,y,z)0确定有四.高阶偏导数一般是显函数求导常见二阶导当二阶混合偏导数连续时混合偏导的结果即和次序无关。五.多元函数连续性判别定义法类比一元函数连续的定义性质连续函数的和差积商仍然连续基本初等函数在定义域内连续初等函数在其定义区间内连续可微则一定连续六.多元函数可微性判别过往真题有过多次作为较难的选择题考察660题和武忠祥严选题有很多这部分的内容建议练习。下述三个式子有一个成立该多元函数就可微三式为二式的特例~七.多元函数偏导数存在性判别利用前面提及到的偏导数定义的两个极限式利用充分条件多元可微则一定存在偏导数八.一阶偏导数连续性的判别同理类比前面多元函数连续性判别的法一法二即可要不用定义法要不用和差积商的性质。这部分来说多元极限的计算是难点接下来详细说明。九.多元函数极限若有极限式其中m和n为正整数而p和q为非负整数若m和n不全为偶数极限一定不存在若m和n均为偶数则当时极限存在等于0否则极限不存在除此之外一元中在多元里同样成立的性质局部有界性保号性有理运算极限与无穷小的关系夹逼定理比如用上面总结的定理夹逼定理得知原极限等于0。再比如可以使用等价无穷小代换即十.多元函数极值类比一元函数极值必要条件若该点处多元函数可导则两个偏导均为0充分条件有则当大于0时A为正则为极小值A为负为极大值小于0时该点处不为极值点为0时则只能用定义法了不过如果是这种情况一般不会为难大家比较简单十一.条件极值套路题过往大题经常考察核心就是构造拉格朗日数乘法(条件)然后令F关于x、y和λ的偏导数都为0求出这个点(x,y)代入到条件里面即可。十二.多元混合偏导待定系数真题考过几次大题也属于套路类型的直接看24年的真题的第一问为例对于第一问来说别多想就把给的等式里面的因子一个一个求出代入即可。代入化简