摄像机标定

1 摄像机标定在摄像机几何模型中我们得到了摄像机模型变换矩阵为其中K为摄像机内参R,C为摄像机外参。为了方便后续推导方便对公式符合做出一些修改1使用T代替-C表示平移参数2摄像机内参在引入像平面扭曲变换skew时引入了s后导致参数不再只表达y轴上的缩放信息因此在后续参数分解中存在麻烦更好的表达方式为描述了像平面上xy轴间的夹角现在不考虑摄像机内外参细节内容投影变换矩阵P是一个3*4的变换矩阵其自由度为11 只需保证12个元素间的比值一致即可表示同一变换因此该变换实际上少了一个缩放尺度在三维信息恢复中只能得到一个任意缩放尺度的恢复。对于摄像机模型参数标定只需要建立起三维坐标点与图像点之间的足够多映射11个映射关系即可求解变换矩阵。选择映射点需要注意以下两点1选择远多余6对点建立映射关系以确保鲁棒性2三维空间点不应该来自同一个平面这样会得到一个退化的方程组将变换矩阵表达为有这里向量与标量没有特别标注需根据语境理解。以上表达式中x与X分别表示图像空间与三维空间中点的坐标为已知值P为待求未知量。一个映射可建立两个方程待人多个映射整理得令待求矩阵P可改写为列向量其他已知量被整理到已知矩阵因此得到超定方程组Mp0。对于一个齐次线性方程组需要注意两点1p0满足方程组但显然不是我们需要得解2假设满足方程组则任意实数点乘同样满足方程组 基于以上原因Mp0求解需要转化为一个约束问题即满足p的模长为1情况下求变换Mp的模最小时对应的p。也就是说对单位向量p施加一个线性变换M使得变换后的向量模长最短对M进行SVD分解得由于V为向量正交当p取V中对应的值最小向量可以使得一个模长趋近0的向量由于U也为正交向量||Uq||||q||所以经过Uq变换后得到的模长也是趋近0因此找到了一个最优解2 提取摄像机参数当完成标定后我们得到了一个投影变换矩阵P该矩阵描述了相机变换的内外参数在应用中需要根据变换矩阵P求解具体内外参数。首先列举处内外参数表达式如下将矩阵P写成其中首先求摄像机内参数建立等价关系观察上式可知由于为旋转矩阵的一个行向量其模长为1可得由于由于旋转矩阵的各个行向量正交可得同理得接下来求解相机扭曲角度由于合矩阵的行向量分别代表相机中心与图像y坐标构成平面相机中心与图像x坐标构成平面和主平面则的行向量表示对应平面上的法向量得到图像平面x轴方向向量得到图像平面y轴方向向量使用余弦公式可得根据等价关系得取模得整理得由于已经求出则可以求得同理得取模得则可求得以上有两点注意1由于取值在0到180度所以无需关注符号2,的符号目前未知。接下来求摄像机外参数已知等价关系和可以求出旋转矩阵行向量通过等价关系可得已知旋转矩阵行向量为单位向量故该计算是可行的利用旋转矩阵正交关系可得到此计算出了所有的旋转向量对于平移信息有等价关系这里仅有T是未知量K为一个上三角矩阵直接回代即可求解T。