两个状态的马尔可夫链
手动推导如下公式。
证明:
- 首先将如下矩阵对角化:
{ 1 − a a b 1 − b } \begin {Bmatrix} 1-a & a \\ b & 1-b \end {Bmatrix} {1−aba1−b}
(1)求如下矩阵的特征值:
{ 1 − a a b 1 − b } { x 1 x 2 } = λ { x 1 x 2 } = = > \begin {Bmatrix} 1-a & a \\ b & 1-b \end {Bmatrix} \begin {Bmatrix} x_1 \\x_2 \end {Bmatrix} = \lambda \begin {Bmatrix} x_1 \\x_2 \end {Bmatrix} == > {1−aba1−b}{x1x2}=λ{x1x2}==>
∣ 1 − a − λ a b 1 − b − λ ∣ = 0 = = > \begin {vmatrix} 1-a - \lambda& a \\ b & 1-b - \lambda \end {vmatrix} = 0 ==> 1−a−λba1−b−λ =0==>
( 1 − a − λ ) ( 1 − b − λ ) − a b = 0 = = > (1-a- \lambda)(1-b - \lambda) - ab = 0 ==> (1−a−λ)(1−b−λ)−ab=0==>
λ 2 + ( a + b − 2 ) λ + ( 1 − a − b ) = 0 = = > λ = ( 2 − a − b ) + − ( a + b − 2 ) 2 − 4 ( 1 − a − b ) 2 = ( 2 − a − b ) + − ( a + b ) 2 = ( 1 ) o r ( 1 − a − b ) \lambda^2 +(a+b-2)\lambda + (1-a-b) = 0 ==> \\ \lambda = \frac{(2-a-b) +- \sqrt{(a+b-2)^2-4(1-a-b)}}{2} = \\ \frac{(2-a-b) +- (a+b)}{2} = (1) or (1-a-b) λ2+(a+b−2)λ+(1−a−b)=0==>λ=2(2−a−b)+−(a+b−2)2−4(1−a−b)=2(2−a−b)+−(a+b)=(1)or(1−a−b)
(2)求得正交特征向量
∣ − a a b − b ∣ ∣ x 1 x 2 ∣ = 0 = = > x 1 = 1 , x 2 = 1 \begin {vmatrix} -a & a \\ b &-b \end {vmatrix} \begin {vmatrix} x_1 \\x_2 \end {vmatrix} = 0 ==> x_1 = 1,x_2 = 1 −aba−b x1x2 =0==>x1=1,x2=1
∣ b a b a ∣ ∣ x 1 x 2 ∣ = 0 = = > x 1 = a , x 2 = − b \begin {vmatrix} b & a \\ b &a \end {vmatrix} \begin {vmatrix} x_1 \\x_2 \end {vmatrix} = 0 ==> x_1 = a,x_2 = -b bbaa x1x2 =0==>x1=a,x2=−b
也即:
A = P − 1 Λ P = { 1 2 a a 2 + b 2 1 2 − b a 2 + b 2 } { 1 0 0 1 − a − b } { 1 2 1 2 a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 } A = P^{-1} \Lambda P = \begin {Bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end {Bmatrix} \begin {Bmatrix} 1 & 0\\\\ 0& 1 - a - b \end {Bmatrix} \begin {Bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \frac{a} {\sqrt{a^2+b^2}} & \frac{-b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end {Bmatrix} A=P−1ΛP=⎩ ⎨ ⎧2121a2+b2aa2+b2−b⎭ ⎬ ⎫⎩ ⎨ ⎧1001−a−b⎭ ⎬ ⎫⎩ ⎨ ⎧21a2+b2a21a2+b2−b⎭ ⎬ ⎫
A n = P − 1 Λ n P = { 1 2 a a 2 + b 2 1 2 − b a 2 + b 2 } { 1 0 0 ( 1 − a − b ) n } { 1 2 1 2 a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 } = { 1 2 + a 2 ( 1 − a − b ) 2 a 2 + b 2 1 2 + − a b ( 1 − a − b ) 2 a 2 + b 2 1 2 + − a b ( 1 − a − b ) 2 a 2 + b 2 1 2 + b 2 ( 1 − a − b ) 2 a 2 + b 2 } A^n = P^{-1} \Lambda^n P = \begin {Bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end {Bmatrix} \begin {Bmatrix} 1 & 0\\\\ 0& (1 - a - b)^n \end {Bmatrix} \begin {Bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \frac{a} {\sqrt{a^2+b^2}} & \frac{-b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end {Bmatrix} =\\ \\ \begin {Bmatrix} \frac{1}{2} + \frac{a^2 (1-a-b)^2}{a^2+b^2} & \frac{1}{2} + \frac{-ab (1-a-b)^2}{a^2+b^2} \\\\ \frac{1}{2} + \frac{-ab (1-a-b)^2}{a^2+b^2} & \frac{1}{2} + \frac{b^2 (1-a-b)^2}{a^2+b^2} \end {Bmatrix} An=P−1ΛnP=⎩ ⎨ ⎧2121a2+b2aa2+b2−b⎭ ⎬ ⎫⎩ ⎨ ⎧100(1−a−b)n⎭ ⎬ ⎫⎩ ⎨ ⎧21a2+b2a21a2+b2−b⎭ ⎬ ⎫=⎩ ⎨ ⎧21+a2+b2a2(1−a−b)221+a2+b2−ab(1−a−b)221+a2+b2−ab(1−a−b)221+a2+b2b2(1−a−b)2⎭ ⎬ ⎫
相关文章:

两个状态的马尔可夫链
手动推导如下公式。 证明: 首先将如下矩阵对角化: { 1 − a a b 1 − b } \begin {Bmatrix} 1-a & a \\ b & 1-b \end {Bmatrix} {1−aba1−b} (1)求如下矩阵的特征值: { 1 − a a b 1 − b } { x 1 x 2 } λ { x 1 x 2 }…...

SpringBoot 依赖管理
Spring Boot 依赖管理 1. 父项目做依赖管理 无需关注版本号,自动版本仲裁机制 <!-- 依赖管理 --> <parent><groupId>org.springframework.boot</groupId><artifactId>spring-boot-starter-parent</artifactId><version&g…...

重试框架入门:Spring-RetryGuava-Retry
前言 在日常工作中,随着业务日渐庞大,不可避免的涉及到调用远程服务,但是远程服务的健壮性和网络稳定性都是不可控因素,因此,我们需要考虑合适的重试机制去处理这些问题,最基础的方式就是手动重试…...
[QCM6125][Android13] 修复PRODUCT_COPY_FILES无法拷贝so
文章目录 开发平台基本信息问题描述解决方法 开发平台基本信息 芯片: QCM6125 版本: Android 13 kernel: msm-4.14 问题描述 在进行系统移植时,经常会把一些自己开发的c或者c程序编译成so库,然后在系统服务中去调用这些库。所以在进行新代码开发时&am…...

微服务Eureka注册中心
目录 一、Eureka的结构和作用 二、搭建eureka-server 三、服务注册 四、服务发现 假如我们的服务提供者user-service部署了多个实例,如图: 存在的问题: order-service在发起远程调用的时候,该如何得知user-service实例的ip地址…...

Java:企业级java后端开发,需要掌握哪些内容
一、什么是后端开发 后端开发是指开发基于服务器端的软件应用程序,也称为系统的后台或服务器端编程。 后端程序员负责处理网站或应用程序后台的逻辑和功能,包括数据库管理、服务器端脚本编写、API设计、数据安全性、网站性能优化等。 后端开发技术通常包…...
使用Go语言生成Excel任务表依赖图(Markdown文件mermaid图)
一、前言 在游戏中,任务是非常常见的玩法,可能会有主线任务,支线任务以及其它一些类型的任务,各任务可能还会有前置任务,即需要完成某个任务之后,才能做当前任务。在游戏开发中,配置表可以使用…...

C语言和C++的区别在哪?如何自学C++?
C语言和C是两种不同的编程语言,它们在语法、特性和用途上有一些区别。以下是C语言和C的一些主要区别: 面向对象编程:C是一种支持面向对象编程的语言,它在C语言的基础上添加了类、对象、继承、多态等面向对象的特性。而C语言是一种…...
功能强大的开源数据中台系统 DataCap 1.13.0 发布
推荐一套基于 SpringBoot 开发的简单、易用的开源权限管理平台,建议下载使用: https://github.com/devlive-community/authx 推荐一套为 Java 开发人员提供方便易用的 SDK 来与 OpenAI 的 API 进行交互组件:https://github.com/devlive-community/openai…...

JTS Self-intersection异常TopologyException: side location conflict解决办法
JTS Self-intersection异常TopologyException: side location conflict解决办法 举例:问题围栏 MULTIPOLYGON (((114.0905685 32.1120567, 114.0905685 32.112957, 114.0905685 32.1138535, 114.0905685 32.1147537, 114.0905685 32.115654, 114.0905685 32.11655…...

Maven: No compiler is provided in this environment.
在Eclipse中运行Maven项目,报错: No compiler is provided in this environment. Perhaps you are running on a JRE rather than a JDK? 解决方法: Windows > Preferences > Java > Installed JREs > Add > Standard VM,…...
.NET-10. 其他-VSTO+VBA
VSTOVBA 前言VSTO 外接程序介绍:VSTO参考链接:VSTO 例子: VBA:参考链接: 前言 主要用于Excel插件。 VSTO 外接程序介绍: Excel、Word、PowerPoint、Project、Visio等等Office应用程序 相对简单 VSTO参考链接&#x…...

相机传感器格式与镜头光圈参数
相机靶面大小 CCD/CMOS图像传感器尺寸(sensor format)1/2’‘、1/3’‘、1/4’实际是多大 1英寸——靶面尺寸为宽12.7mm*高9.6mm,对角线16mm。 2/3英寸——靶面尺寸为宽8.8mm*高6.6mm,对角线11mm。 1/2英寸——靶面尺寸为宽6.…...
Android 设置头像(拍照获取、相册获取、裁剪照片)
在Android原生态开发过程中,往往会设计到用户头像的设置问题,一般来讲设置头像需要用到拍照、获取照片、存储照片、裁剪照片、显示照片等问题,本文将一步一步的进行说明讲解。 首先需要强调几点我在开发过程中遇到的问题。 权限问题…...

android开发之Android 自定义滑动解锁View
自定义滑动解锁View 需求如下: 近期需要做一个类似屏幕滑动解锁的功能,右划开始,左划暂停。 需求效果图如下 实现效果展示 自定义view如下 /** Desc 自定义滑动解锁View Author ZY Mail sunnyfor98gmail.com Date 2021/5/17 11:52 *…...

CAD绘制法兰、添加光源、材质并渲染
首先绘制两个圆柱体,相互嵌套 在顶部继续绘制圆柱体,这是之后要挖掉的部分 在中央位置绘制正方形 用圆角工具: 将矩形的四个角分别处理,效果: 用拉伸工具 向上拉伸到和之前绘制的圆柱体高度齐平 绘制一个圆柱体&#…...

ChatGPT访问流量下降的原因分析
自从OpenAI的ChatGPT于11月问世以来,这款聪明的人工智能聊天机器人就席卷了全世界,人们在试用该工具的同时也好奇该技术到底将如何改变我们的工作和生活。 但近期Similarweb表示,自去ChatGPT上线以来,该网站的访问量首次出现下…...

干货 | 详述 Elasticsearch 向量检索发展史
1. 引言 向量检索已经成为现代搜索和推荐系统的核心组件。 通过将复杂的对象(例如文本、图像或声音)转换为数值向量,并在多维空间中进行相似性搜索,它能够实现高效的查询匹配和推荐。 图片来自:向量数据库技术鉴赏【上…...
mysql常见面试题,高频题目放送
互联网的产品架构是包含这接入层,逻辑处理以及储存层的,其中储存层承载着较多的数据以及持久化的任务,而说到储存层,避免不了说到数据库,在我们面试的时候,数据库的知识题目占比是非常多的: 1.…...

使用 PowerShell 将 Excel 中的每个工作表单独另存为独立的文件
导语:在日常工作中,我们经常需要处理 Excel 文件。本文介绍了如何使用 PowerShell 脚本将一个 Excel 文件中的每个工作表单独另存为独立的 Excel 文件,以提高工作效率。 1. 准备工作 在开始之前,请确保已经安装了 Microsoft Exc…...
uniapp 对接腾讯云IM群组成员管理(增删改查)
UniApp 实战:腾讯云IM群组成员管理(增删改查) 一、前言 在社交类App开发中,群组成员管理是核心功能之一。本文将基于UniApp框架,结合腾讯云IM SDK,详细讲解如何实现群组成员的增删改查全流程。 权限校验…...

Linux应用开发之网络套接字编程(实例篇)
服务端与客户端单连接 服务端代码 #include <sys/socket.h> #include <sys/types.h> #include <netinet/in.h> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #include <arpa/inet.h> #include <pthread.h> …...
web vue 项目 Docker化部署
Web 项目 Docker 化部署详细教程 目录 Web 项目 Docker 化部署概述Dockerfile 详解 构建阶段生产阶段 构建和运行 Docker 镜像 1. Web 项目 Docker 化部署概述 Docker 化部署的主要步骤分为以下几个阶段: 构建阶段(Build Stage):…...
设计模式和设计原则回顾
设计模式和设计原则回顾 23种设计模式是设计原则的完美体现,设计原则设计原则是设计模式的理论基石, 设计模式 在经典的设计模式分类中(如《设计模式:可复用面向对象软件的基础》一书中),总共有23种设计模式,分为三大类: 一、创建型模式(5种) 1. 单例模式(Sing…...

深入剖析AI大模型:大模型时代的 Prompt 工程全解析
今天聊的内容,我认为是AI开发里面非常重要的内容。它在AI开发里无处不在,当你对 AI 助手说 "用李白的风格写一首关于人工智能的诗",或者让翻译模型 "将这段合同翻译成商务日语" 时,输入的这句话就是 Prompt。…...

(十)学生端搭建
本次旨在将之前的已完成的部分功能进行拼装到学生端,同时完善学生端的构建。本次工作主要包括: 1.学生端整体界面布局 2.模拟考场与部分个人画像流程的串联 3.整体学生端逻辑 一、学生端 在主界面可以选择自己的用户角色 选择学生则进入学生登录界面…...
AtCoder 第409场初级竞赛 A~E题解
A Conflict 【题目链接】 原题链接:A - Conflict 【考点】 枚举 【题目大意】 找到是否有两人都想要的物品。 【解析】 遍历两端字符串,只有在同时为 o 时输出 Yes 并结束程序,否则输出 No。 【难度】 GESP三级 【代码参考】 #i…...
大语言模型如何处理长文本?常用文本分割技术详解
为什么需要文本分割? 引言:为什么需要文本分割?一、基础文本分割方法1. 按段落分割(Paragraph Splitting)2. 按句子分割(Sentence Splitting)二、高级文本分割策略3. 重叠分割(Sliding Window)4. 递归分割(Recursive Splitting)三、生产级工具推荐5. 使用LangChain的…...

智能在线客服平台:数字化时代企业连接用户的 AI 中枢
随着互联网技术的飞速发展,消费者期望能够随时随地与企业进行交流。在线客服平台作为连接企业与客户的重要桥梁,不仅优化了客户体验,还提升了企业的服务效率和市场竞争力。本文将探讨在线客服平台的重要性、技术进展、实际应用,并…...
Frozen-Flask :将 Flask 应用“冻结”为静态文件
Frozen-Flask 是一个用于将 Flask 应用“冻结”为静态文件的 Python 扩展。它的核心用途是:将一个 Flask Web 应用生成成纯静态 HTML 文件,从而可以部署到静态网站托管服务上,如 GitHub Pages、Netlify 或任何支持静态文件的网站服务器。 &am…...