算法导论【摊还分析】—聚合分析、核算法、势能法
算法导论【摊还分析】—聚合分析、核算法、势能法
- 聚合分析
- 核算法
- 势能法
假定我们对一个数据结构执行一个由 n 个操作组成的操作序列,当 i 严格为 2 的幂时,第 i 个操作的代价为 i,否则代价为 1
聚合分析
总共有n个操作,1,2,4.....,2⌊lgn⌋1,2,4.....,2^{⌊\lg n⌋}1,2,4.....,2⌊lgn⌋,其中有至多k=⌈lgn⌉k=⌈\lg n⌉k=⌈lgn⌉个操作序号为2的幂,则
S=∑k=0⌊lgn⌋2k+(n−⌈lgn⌉)∗1=1∗(1−2⌊lgn⌋+1)1−2+n−⌈lgn⌉=2⌊lgn⌋+1−1+n−⌈lgn⌉=≤3n−⌈lgn⌉−1=O(n)\begin{aligned} S&=\sum_{k=0}^{⌊\lg n⌋}2^k+(n-⌈\lg n⌉)*1\\ &=\cfrac{1*(1-2^{⌊\lg n⌋+1})}{1-2}+n-⌈\lg n⌉\\ &=2^{⌊\lg n⌋+1}-1+n-⌈\lg n⌉\\ &=\le3n-⌈\lg n⌉-1\\ &=O(n) \end{aligned} S=k=0∑⌊lgn⌋2k+(n−⌈lgn⌉)∗1=1−21∗(1−2⌊lgn⌋+1)+n−⌈lgn⌉=2⌊lgn⌋+1−1+n−⌈lgn⌉=≤3n−⌈lgn⌉−1=O(n)
所以每个操作的摊还时间代价为O(n)n=O(1)\cfrac{O(n)}{n}=O(1)nO(n)=O(1)
核算法
设每个操作的代价都为333
第2k−1+1到第2k−12^{k-1}+1到第2^{k}-12k−1+1到第2k−1个操作为非2的幂,多付的代价为2∗(2k−1−1−1+1)=2k−22*(2^{k-1}-1-1+1)=2^k-22∗(2k−1−1−1+1)=2k−2在第2k2^k2k个次操作付的代价为333,则可以用于支付第2k2^k2k次操作的信用为2k−2+3=2k+1>2k2^k-2+3=2^k+1>2^k2k−2+3=2k+1>2k大于第2k2^k2k次操作应该付的代价,故每个操作的摊还代价为O(1)O(1)O(1)
势能法
设势函数为
Φ(D0)=0Φ(Di)=2(i−2lg⌊i⌋)\Phi (D_0) = 0\\ \Phi(D_i) = 2(i-2^{\lg⌊i⌋})\\ Φ(D0)=0Φ(Di)=2(i−2lg⌊i⌋)
- 当i为2的幂时,2⌊lgi⌋=i,⌊lg(i−1)⌋+1=⌊lgi⌋2^{⌊\lg i⌋}=i,⌊\lg (i-1)⌋+1=⌊\lg i⌋2⌊lgi⌋=i,⌊lg(i−1)⌋+1=⌊lgi⌋
c^i=ci+Φ(Di)−Φ(Di−1)=i+2(i−2⌊lgi⌋)−2(i−1−2⌊lgi−1⌋)=i+2i−2i+2−2⌊lgi⌋+1+2⌊lgi⌋+1=i−i−2⌊lgi⌋+2⌊lgi⌋+1+2=2\begin{aligned} \hat c_i&=c_i+\Phi(D_i)-\Phi(D_{i-1})\\ &=i+2(i-2^{⌊\lg i⌋})- 2(i-1-2^{⌊\lg i-1⌋})\\ &=i+2i-2i+2-2^{⌊\lg i⌋+1}+2^{⌊\lg i⌋+1}\\ &=i-i-2^{⌊\lg i⌋}+2^{⌊\lg i⌋+1}+2\\ &=2 \end{aligned} c^i=ci+Φ(Di)−Φ(Di−1)=i+2(i−2⌊lgi⌋)−2(i−1−2⌊lgi−1⌋)=i+2i−2i+2−2⌊lgi⌋+1+2⌊lgi⌋+1=i−i−2⌊lgi⌋+2⌊lgi⌋+1+2=2 - 当i不为2的幂时,2⌊lg(i−1)⌋=2⌊lgi⌋2^{⌊\lg (i-1)⌋}=2^{⌊\lg i⌋}2⌊lg(i−1)⌋=2⌊lgi⌋
c^i=ci+Φ(Di)−Φ(Di−1)=1+2(i−2⌊lgi⌋)−2(i−1−2⌊lgi−1⌋)=1+2i−2i+2−2(2⌊lgi⌋−2⌊lgi−1⌋)=1+2=3\begin{aligned} \hat c_i&=c_i+\Phi(D_i)-\Phi(D_{i-1})\\ &=1+2(i-2^{⌊\lg i⌋})- 2(i-1-2^{⌊\lg i-1⌋})\\ &=1+2i-2i+2-2(2^{⌊\lg i⌋}-2^{⌊\lg i-1⌋})\\ &=1+2\\ &=3 \end{aligned} c^i=ci+Φ(Di)−Φ(Di−1)=1+2(i−2⌊lgi⌋)−2(i−1−2⌊lgi−1⌋)=1+2i−2i+2−2(2⌊lgi⌋−2⌊lgi−1⌋)=1+2=3
故每个操作摊还复杂度为O(1)O(1)O(1)
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