线性代数的学习和整理7：各种特殊效果矩阵特例（草稿-----未完成）

目录

1 矩阵

1.1 1维的矩阵

1.2 2维的矩阵

1.3 没有3维的矩阵---3维的是3阶张量

2 方阵

3 单位矩阵

3.1 单位矩阵的定义

3.2 单位矩阵的特性

3.3 为什么单位矩阵I是 [1,0;0,1] 而不是[0,1;1,0] 或[1,1;1,1]

3.4 零矩阵

3.4 看下这个矩阵 [0,1;1,0]

3.5 看下这个矩阵 [1,1;1,1]

4 镜像矩阵

5 旋转矩阵

6 伸缩矩阵 放大缩小倍数矩阵

7 剪切矩阵

---

1 矩阵

1.1 1维的矩阵

• 行向量，αT
• 列向量，α

行向量

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1 & 2 & 3 \\
  \end{matrix}
  \right] 
$$

列向量

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1  \\
   4  \\
   7 
  \end{matrix}
  \right] 
$$

1.2 2维的矩阵

• 一般2维表都可以看作矩阵。
• 矩阵的每个维度可以是1个数字，也可以是多个数字组成的数组/向量
• 比如 An*m就是n 行 m列的矩阵

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1 & 2 & 3 \\
   4 & 5 & 6 \\
  \end{matrix}
  \right] \tag{1}
$$

1.3 没有3维的矩阵---3维的是3阶张量

• 比如3个坐标轴

1.4  下面本文总结的都是各种特殊效果矩阵特例

• 单位矩阵
• 零矩阵
• 等等

2 方阵: 正方形矩阵

• 行数和列数相等的矩阵即方阵
• 比如 An*n就是n 行 n列的矩阵
• 方阵有很多特殊的属性

1. 比如虽然并不是，方阵一定有逆矩阵，但是可逆矩阵必须是方阵

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1 & 2 & 3 \\
   4 & 5 & 6 \\
   7 & 8 & 9
  \end{matrix}
  \right]
$$

3 单位矩阵

3.1 单位矩阵的定义

• 单位矩阵，一定是这样的[1,0;0,1]
• 单位矩阵的作用，矩阵A*I=A 
• 矩阵 [1,0;0,1] 代表将其他矩阵 原样进行映射，不做任何改变
• 也就是单位矩阵，既不改变矩阵方向，也不改变伸缩矩阵的长短，完全不变

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 1
  \end{matrix}
  \right]
$$

3.2 单位矩阵的特性

• 单位矩阵的特性

1. A*I=A 
2. A*A-=I

3.3 为什么单位矩阵I是 [1,0;0,1] 而不是[0,1;1,0] 或[1,1;1,1]

• 因为 矩阵 [1,0;0,1] 代表将其他矩阵 原样进行映射，不做任何改变
• 而[1,1;1,1] 没有啥意义
• 可比较下面的结果，实际理解

3.4 零矩阵

• [0,0;0,0]
• 所有的列向量，都坍缩回原点

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   0 & 0  \\
   0 & 0  \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

3.4 看下这个矩阵 [0,1;1,0]

• [0,1;1,0]
• 这个矩阵，和单位矩阵形式恰好相反
• 从几何效果来看，是镜像矩阵（列向量互换了）

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   0 & 1  \\
   1 & 0  \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

3.5 看下这个矩阵 [1,1;1,1]

• [1,1;1,1] 
• 几何效果是，矩阵的列向量会被变成完全相等（方向，长度都相等）

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1 & 1  \\
   1 & 1  \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

4 镜像矩阵

• [0,1;1,0]
• 这个矩阵，和单位矩阵形式恰好相反
• 从几何效果来看，是镜像矩阵（列向量互换了）

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   0 & 1  \\
   1 & 0  \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

5 旋转矩阵

应该很多种把

6 伸缩矩阵 放大缩小倍数矩阵

• 把[1,0;0,1] 变成[2,0;0,1]，即可实现伸缩效果
• 比如变成[2,0;0,1]，是第1个列向量变长2倍
• 比如变成[1,0;0,-2]，是第2个列向量变长2倍，且方向要相反（向原点的另外一边）

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   2 & 0  \\
   0 & 1  \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

7 剪切矩阵