AVL树 模拟实现（插入）

目录

模拟插入节点

左单旋

右单旋

右左双旋

左右双旋

总结

实现

插入实现

 左单旋实现

右单旋实现

右左双旋实现

左右双旋实现

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AVL树 模拟实现（插入）

AVL 树，是高度平衡二叉搜索树，其主要通过旋转来控制其左右子树的高度不超过1，这样就能达到搜索效率基本等同于满二叉树（O(LogN)），所以 AVL 并不会向普通的搜索树一样，在极端情况下退化为单枝。

首先AVL在平衡的前提下，还要保证其是一颗搜索树，所以在插入的时候还是按照搜索树的插入规则来。

AVL 树的高度就是右子树减左子树的高度。

AVL 树的实现有几种，其中一种是借用平衡因子来查看其是否平衡，如果不适用平衡因子，那么就需要使用高度查看是否平衡，但是加入平衡因子会跟简单一些，所以下面我们实现的AVL 树是借用平衡因子来维持平衡的。

模拟插入节点

如果是第一次插入，以及第二次插入那么和搜索树是一摸一样的，为什么呢？

因为如果是第一次插入，那么就是插入到根节点，所以该是是平衡的，无需做其他的操作来保持其平衡，而第二次插入也是不需要我们做其他操作的，同样是因为第二次插入也是平衡的（左右子树的高度不超过1）。

左单旋

插入两个节点如图所示：

这时候，6 节点的高度就为 0，而 2 节点的高度为 1，因为 6 节点的左右子树的高度都为 0，而 2 节点的右子树的高度为 1，而左子树的高度为 0.

如果是两个节点的话，是无法达到完全平衡的，所以并不是AVL树不想达到完全平衡，而是只有在满二叉树的情况下才能达到完全平衡。

下面如果在插入一个节点，那么就会引发旋转：

如果这时候插入节点 8，那么首先我们就能看到这棵树已经不平衡了，但是我们要怎么使用平衡因子来控制？

插入节点 8，此时节点 8 的平衡因子肯定是 0，那么现在 8 在节点 6 的右边，所以 6 要对它的平衡因子进行+1操作：

此时节点 6 的平衡因子变为了 1，现在我们想一下，如果平衡因子由 0 变为 1表示的是什么？

节点刚开始的平衡因子是 0  ，说明刚开始的时候该树是平衡的，变为 1说明该树的右子树多增加了一个节点的高度，所以说明该树的高度发生了变化，所以既然该节点的高度发生了变化，那么该节点的父亲节点的高度可能也会发生变化，所以这时候我们需要向上检查父亲节点的高度：

这时候父亲节点的高度变为了 2，说明此时已经不平衡了，那么要怎样旋转？

我们发现这样的不平衡是单纯的右边高，所以我们尽可能向左旋转，将高度压下去，也就是使用左单旋：

1. 我们需要将父亲节点（2），的右子树连接到，cur（6） 节点的左子树上 

2. 我们将cur（6）节点的左子树，连接成父亲节点（2）

所以旋转结束后就是这样：

但是我们的平衡因子是不正确的，所以如果我们使用左单旋转，旋转之后我们需要将父亲节点（2），和cur节点（6）的平衡因子变为 0.

上面我们为什么要将cur 节点的左孩子给父亲节点呢？

因为这里我们只是画了一个节点，我们有可能右多个节点，所以我们还需要处理好其他节点，但是由于我们只是对cur 的左子树进行的调换位置，我们并未使其高度发生变化，所以我们也自然不需要对其的平衡因子进行调整：

也就是像我们上图这样，cur节点，还有左子树：

上图就是进行旋转之后的样子，然后进行修正平衡因子（parent 为 0，cur 为 0:

右单旋

如果我们的方向不同呢？也就是整个树是单纯的左边高：

插入节点：

 修正平衡因子：

这里我们发现节点 6 已经不平衡了，需要旋转来维持平衡，这时候我们发现它是单纯的左边高，也就是我们需要像右旋转，也就是右单旋：

1. 将节点 4 的右子树连接到节点 6 的左子树上

2. 将节点 6 连接到节点 4 的右子树上

旋转结束后就就是这样：

 我们还是将parent节点（6）和 cur节点（4）的平衡因子修改为 0.

而这里处理cur节点的右子树的原因和处理左单旋时候的 cur 的左子树是一样的原因。

经过上面的左单旋和右单旋，我们发现：

1. 如果插入节点到当前节点的左子树：那么就让当前节点的平衡因子进行 ‘减减’ 操作

2. 如果插入节点到当前节点的右子树：那么就让当前节点的平衡因子进行 ‘加加’ 操作

3.如果平衡因子由 0 变为 1 或者由 0 变为 -1 ，那么就说明当前节点的左右子树的高度发生的变化，需要对当前节点的父亲节点进行平衡因子的跟新。

4.如果当前节点的平衡因子被跟新为 2 或者 -2 ，那么说明当前节点的左右子树已经不平衡了，需要旋转来调节平衡。

5. 什么时候插入结束？

1）当插入的节点是根节点，那么插入后就可以结束了。

2）插入的节点已经存在

3）插入成功并且修正平衡因子后，父亲的平衡因子变为 0 ，变为 0 说明父亲之前的平衡因子不为        0，而变为 0 说明父亲的高度没有发生变化，所以无需在向上调整，插入也就结束。

4）修正平衡因子后，发现某一节点需要旋转，而旋转并且修正平衡因子后，插入结束。

上面说的修正平衡因子是一个循环的过程，因为在修正平衡因子的时候，可能将父亲的平衡因子由0 变为 1 或者 -1 ，说明父亲的高度变化了，所以此时就需要将父亲给给 cur 然后继续向上调整，还有一个插入结束的调节，就是父亲为空也插入结束了，父亲为空说明为根节点。

6. 判断是左单旋还是右单旋：

1）如果是单纯的左边高，那么就进行右单旋，那么怎么判断是单纯的左边高？单纯的左边高，就是父亲节点的平衡因子为 -2 ，而 cur 节点的平衡因子为 -1.

2）如果是单纯的右边高，那么就进行右单旋，右单旋的特征是，parent 的平衡因子是 2， cur 的平衡因子是 1

右左双旋

上面我们插入后总是一边高，但是我们还是右其他的情况，也就是下面这种：

我们这种该怎么样旋转呢？我们可以先试一下左单旋，因为这里我们发现是右边高：

在旋转后，我们发现高度并没有被压缩，而是调了个个，所以如果是这种情况的话，单纯的左或者右是不能完成任务的，而是需要使用双旋。

我们可以先对cur 节点进行右单旋：

 经过我们前面对 cur 节点进行的右单旋，我们此时已经变为一边高了，所以此时我们在对 parent 节点进行左单旋就可以完成压缩高度任务：

我们此时经过旋转后的 parent 和 cur 节点的平衡因子变为 0了：

但是这只是我们节点 4 就是新插入的节点，那么假设是其他情况呢？

 上图是抽象图，可以表示该种情况下所有可能的情况，如果当 h == 0 的时候，就表示的是 4 节点是新增，但是无论 h 是多少，我们都可以使用右左双旋。

首先对该树的cur 节点使用右单旋：

旋转后就变为了这样，也就是单纯的右边高，所以我们在使用左单旋对parent节点：

但是这时候 parent 和 cur 节点的平衡因子都是 0，那么我们要怎么调节平衡因子呢？对于这种情况来说，我们是将parent 的平衡因子调整为 -1 ，cur 的平衡因子为 0，即可，但是我们要是插入的位置不是刚开始插入的位置呢？

如果插入到该位置，那么金国旋转后的结果是这样的：

所以此时跟新平衡因子应该是 parent 为 0 ,cur 的平衡因子应该为 1，所以我们插入位置不同的话，我们的平衡因子的跟新策略是不同的，所以我们还要记录插入位置的平衡因子。

我们为了更好的描述，我们将节点 4 称为 curLeft。

我们发现我们在旋转结束后，curLeft 的左右子树被parent 和 cur 代替，而他自己的左子树被分给了parent 的 right 子树 ，而它的右子树被分给了cur 的 left 子树，所以我们只需要知道 curRight 的平衡因子，我们也就可以将parent 和 cur 的平衡因子跟新正确。

上面我们一直都没有说 curLeft 的平衡因子，其实curLeft 的平衡因子在第一次右单旋的时候就被跟新为了 0 ，而旋转结束后，curLeft 的平衡因子也就应该是 0.

左右双旋

这里我们就直接使用抽象图来描述了。

以上图为例，我们要插入一个值：

现在我们发现是左边高，但是我们知道这种情况下，我们单纯的使用右单旋是解决不了问题的，所以我们还是选哟使用双旋，也就是左右双旋，我们先对cur 节点进行左单旋，然后对parent 进行右单旋：

 旋转后，我们发现现在是单纯的左边高，所以我们对 parent 节点使用右单旋：

这时候的 parent cur 以及 curRight  的平衡因子都被跟新为 0了 ，但是都是 0 并不正确，而是也像我们前面的右左双一样，需要看 curRight 的平衡因子：

1. 如果插入到 curRight 的keft，那么 cur 的平衡因子就是 0 ，parent 的平衡因子为 1。

2. 如果插入到 curRight 的 right ，那么 cur 的平衡因子就是 -1，parent 的平衡因子就是 0。

总结

• 如果 parent 的平衡因子为 2 ，cur 的平衡因子为 1，那么使用的是左单旋，将 parent 和 cur 的平衡因子都跟新为 0.
• 如果 parent 的平衡因子为 -2 ，cur 的平衡因子为 -1，那么使用的是右单，将 parent 和 cur 的平衡因子都跟新为 0.。
• 如果 parent 的平衡因子为 2 ，cur 的平衡因子为 -1，那么使用的是右左双旋                    平衡因子：                                                                                                                      如果curLeft 的平衡因子为 1 ，那么就将parent 的平衡因子置为 -1，cur 的平衡因子置为 0，curLeft 的平衡因子为 0                                                                                              如果curLeft 的平衡因子为 -1 ，那么就将parent 的平衡因子置为 0，cur 的平衡因子置为 1，curLeft 的平衡因子为 0                                                                                              如果curLeft 的平衡因子为 0 ，那么就将parent 的平衡因子置为 0，cur 的平衡因子置为 0，curLeft 的平衡因子为 0 
• 如果 parent 的平衡因子为 -2 ，cur 的平衡因子为 1，那么使用的是左右双旋                    平衡因子：                                                                                                                      如果curRight的平衡因子为 1 ，那么就将parent 的平衡因子置为 0，cur 的平衡因子置为 -1，curRight的平衡因子为 0                                                                                           如果curRight的平衡因子为 -1 ，那么就将parent 的平衡因子置为 1，cur 的平衡因子置为 0，curRight的平衡因子为 0                                                                                          如果curRight的平衡因子为 0 ，那么就将parent 的平衡因子置为 0，cur 的平衡因子置为 0，curLeft 的平衡因子为 0        

实现

上面大概率是把思路都说明白了，下面开始看一下实现：

插入实现

首先我们先看一下AVLTreeNode:

对于该节点，我们需要一个存储值的变量，我们还需要三个指针，其中一个 left，还有一个 right，还有一个 parent，这里需要parent 是因为我们需要找找到它的父亲节点，还需要一个平衡因子

template<class K, class V>
struct TreeNode
{pair<K, V> _kv;TreeNode<K, V>* _left;TreeNode<K, V>* _right;TreeNode<K, V>* _parent;int _balance;TreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr),_balance(0){}
};

这里我们将存储值的变量之间设置为了 kv 结构，因为这样既可以适用于 set，也适用于 map.

下面就是插入：

插入的话，先按照搜索树的插入节点，也就是插入插入位置，然后记录其父亲节点：

		if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{// 重复了，插入失败return false;}}// 插入数据cur = new Node(kv);if (kv.first < parent->_kv.first){//维护三叉链parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}else{//维护三叉链parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}

等 cur 节点插入后，开始修正并检查平衡：

		//检查平衡while (parent){//维护平衡因子// 平衡因子=右子树高度-左子树高度if (cur == parent->_left){parent->_balance--;}else{parent->_balance++;}// 检查 parent 的平衡因子// 如果为 0 说明parent 这颗树以及平衡，无需检查// 如果为 1/-1 说明 parent 的平衡发生了变化，说明需要检查 parent 的parent 的平衡因子// 如果为 2/-2 说明这棵树已经不平衡了，需要旋转if (parent->_balance == 0){//该树已经平衡break;}else if (parent->_balance == 1 || parent->_balance == -1){// 说明该树的高度发生变化,需要检查 parent 的 parent 的平衡因子，所以需要向上传递cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_balance == 2 || parent->_balance == -2){// 说明该树需要旋转保持平衡if (parent->_balance == 2 && cur->_balance == 1){// 左单旋RotateL(parent);break;}else if (parent->_balance == -2 && cur->_balance == -1){// 右单旋RotateR(parent);break;}else if (parent->_balance == 2 && cur->_balance == -1){// 右左双旋RotateRL(parent);break;}else if (parent->_balance == -2 && cur->_balance == 1){// 左右双旋RotateLR(parent);break;}else{assert(0);}}else{// 不能出现该种情况assert(0);}}

上面就是修正并且检查平衡，那么我们看一下应该怎么样旋转：

 左单旋实现

实际上，左单旋并不是像我们说的那样，只有我们前面模拟插入的时候的两步

主要步骤：

1. 将 parent 的 right 连接成 cur 的 left

2. 将 cur 的 left 连接成 parent

3. 维护三叉链

实际上我们还需要维护三叉链，也就是他们的父亲节点，。

	// 左单旋void RotateL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* curLeft = cur->_left;parent->_right = curLeft;if (curLeft){curLeft->_parent = parent;}cur->_left = parent;Node* pparent = parent->_parent;parent->_parent = cur;if (pparent == nullptr){// parent 就是根节点_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (parent == pparent->_left){pparent->_left = cur;}else{pparent->_right = cur;}cur->_parent = pparent;}parent->_balance = 0;cur->_balance = 0;}

右单旋实现

主要步骤：

1. 将 parent 的 left 链接到 cur 的 right

2.将 cur 的 left 链接到 parent

3. 维护其三叉链

	//右单旋void RotateR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* curRight = cur->_right;parent->_left = curRight;if (curRight){curRight->_parent = parent;}cur->_right = parent;Node* pparent = parent->_parent;parent->_parent = cur;if (pparent == nullptr){// 说明 parent 是根节点_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (parent == pparent->_left){pparent->_left = cur;}else{pparent->_right = cur;}cur->_parent = pparent;}parent->_balance = 0;cur->_balance = 0;}

右左双旋实现

主要步骤：

1. 对 cur 节点进行右旋

2. 对 parent 节点进行左旋

3. 修正平衡因子，这个我们前面总结过了

	void RotateRL(Node* parent){//先对 cur 节点进行右单旋//在对 parent 节点进行左单旋Node* cur = parent->_right;Node* curLeft = cur->_left;int balance = curLeft->_balance;RotateR(cur);RotateL(parent);//旋转后维护平衡因子//这里右几种可能：//1. curLeft 节点的平衡因子为 0//2. curLeft 节点的平衡因子为-1//3. curLeft 节点的平衡因子为 1// 这里发现每一次旋转结束后，curRight 节点的左树给了parent，右树给了 cur，// 所以这里需要的以区分新增节点插入到了 curRight 节点的左是右// 记录该平衡因子主要是为了维护旋转后的平衡因子if (balance == 0){// curRight 就是新增节点，所以cur,parent,curRight 的平衡因子都为 0cur->_balance = 0;parent->_balance = 0;curLeft->_balance = 0;}else if (balance == 1){// 新增在了右边，所以cur,parent,curRight 的平衡因子分别为 0，-1，0cur->_balance = 0;parent->_balance = -1;curLeft->_balance = 0;}else if (balance == -1){// 新增在了左边，所以cur,parent,curRight 的平衡因子分别为 1，0，0cur->_balance = 1;parent->_balance = 0;curLeft->_balance = 0;}else{assert(0);}}

左右双旋实现

主要步骤：

1. 对 cur 节点进行左旋

2. 对 parent 节点进行右旋

3. 修正平衡因子，这个我们前面总结过了

	// 左右双旋void RotateLR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* curRight = cur->_right;int balance = curRight->_balance;RotateL(cur);RotateR(parent);if (balance == 0){cur->_balance = 0;parent->_balance = 0;curRight->_balance = 0;}else if (balance == -1){cur->_balance = 0;parent->_balance = 1;curRight->_balance = 0;}else if (balance == 1){cur->_balance = -1;parent->_balance = 0;curRight->_balance = 0;}}