【算法基础】一维差分 + 二维差分

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回顾

• 一维前缀和 + 二维前缀和

一、一维差分

1.1 什么是差分

• 首先有一个原数组a：a[1]，a[2]，a[3] ... a[N]
• 然后构造一个数组b：b[1]，b[2]，b[3]...b[N]，使得a[N] = b[1] + b[2]+ b[3] + ... + b[N]
• 所以，我们就称a数组是b数组的前缀和，而b数组就称为a数组的差分

1.2 如何构造b数组

可以利用高中的知识：

一开始初始化a[0] = 0

b[1] = a[1] - a[0]

b[2] = a[2] - a[1]

b[3] = a[3] - a[2]

…

b[n] = a[n] - a[n-1]

最后再把上述式子加起来，就可以得到：a[n] = b[1] + b[2]+ b[3] + ... + b[n]，所以，构造b[n]数列的公式为：b[n] = a[n] - a[n-1]

1.3 用途

假设现在有一问题：将a数组[l,r]区间中的每一个数都加一常数C，即a[l] + c，a[l+1] + c + ... + a[r] + c（减上一个常数c也是同一个意思）

• 暴力

for循环遍历[l，r]，时间复杂度是O(n)

• 差分

因为a数组是b数组的前缀和：a[n] = b[1] + b[2] + b[3] + ... + b[n]，只要b[l] + c，a数组在区间[l,n]都会加上c，即a[l] + c，a[l + 1] + c，...，a[n] + c，什么意思呢？画个图就豁然开朗了（如下图）

但是，a数组在区间[l,n]都会加上c，而我们只想在[l,r]上加上c，所以数组b区间[r+1,n]每个数都要-c

一维差分总结：

• 给区间[l,r]中的每个数加上c，b[l] += c，b[r+1] -= c，并且时间复杂度是O(1)
• 下标为什么从1开始其实和前缀和是一个意思 -> 传送门

1.4 代码

模板1

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 10010;int a[N],b[N];///全局变量，初始化为0int main()
{int n;// n - 数组元素个数scanf("%d",&n);//输入原数组afor (int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d", &a[i]);//构建b数组for (int i = 1;i <= n;i++)b[i] = a[i] - a[i - 1];//a数组在[l,r]上，加上一个数int l,r,c;scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);b[l] += c;b[r + 1] -= c;//求出+c后的数组for (int i = 1;i <= n;i++)b[i] = b[i - 1] + b[i];//a[i] = b[i] + a[i - 1]//输出for(int i = 1;i <= n;i++)printf("%d ",b[i]);return 0;
}

模板2 + 解释

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 10010;int a[N],b[N];//全局变量，初始化为0void insert(int l,int r,int c)
{b[l] += c;b[r + 1] -= c;
}int main()
{int n;scanf("%d",&n);//输入原数组afor (int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d", &a[i]);//构建b数组for (int i = 1;i <= n;i++)insert(i,i,a[i]);//a数组在[l,r]上，加上一个数int l,r,c;scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);insert(l,r,c);//求出+c后的数组(前缀和)for (int i = 1;i <= n;i++)b[i] = b[i] + b[i - 1];//a[i] = b[i] + a[i - 1]//输出for(int i = 1;i <= n;i++)printf("%d ",b[i]);return 0;
}

解释：
首先封装了insert函数来帮助我们在某段区间加上c，而为什么构造b数组时也能使用这个函数呢？这个问题其实我也想了很久，但是其实画个图就明白了

二、二维差分

2.1 什么是二维差分

• 首先有一个原数组a[i][j]
• 然后构建一个差分数组b[i][j]，即a[n][m] = b[1][1] + b[2][1] + b[2][2] + ... + b[n][m]
• 所以，我们称a[i][j]是b[i][j]的前缀和数组，而b数组就是a数组的差分

2.2 如何构建b[i][j]以及用途

首先先讲讲用途，假设现在有一问题：已知原数组a中被选中的子矩阵是以(x1,y1)为左上角，以(x2,y2)为右下角所围成的区域，现要求在子矩阵中每个数+c

• 暴力做法

for循环遍历，时间复杂度是O(n²)

• 差分

一定要记住，a数组是b数组的前缀和，若对b数组的b[i][j]的修改，势必会影响到a数组中从a[i][j]及往后的每一个数，时间复杂度可以由O(n²)优化成O(1)

做法如下

目的：让黄色区域所有数都加上c

记住，a数组是b数组的前缀和，若对b数组加上c，势必会影响c。所以b[x1][y1]+c，会导致红色区域加上c

所以，现只要把绿色部分多加的c去掉即可

首先，先减去紫色部分多加的c

• b[x2 + 1][y1] -= c

接下来再减去灰色部分多加的c

b[x1][y2 + 1] -= c

最后，由于前两步多减了橙色部分的c，所以还要再加回去

b[x2 +1 ][y2 + 1] += c

我们把上述过程封装成一个insert函数

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{     b[x1][y1] += c;b[x2+1][y1] -= c;b[x1][y2+1] -= c;b[x2+1][y2+1] += c;
}

最后b数组的构造也能使用这个插入函数，过程和一维差分差不多，详情请看一维差分的模板2

2.3 代码模板

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 10010;int a[N][N],b[N][N];//插入函数
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{b[x1][y1] += c;b[x2 + 1][y1] -= c;b[x1][y2 + 1] -= c;b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}int main()
{int n,m;scanf("%d%d%d",&n,&m);//输入原数组a + 构造差分数组bfor (int i = 1;i <= n;i++){for (int j = 1;j <= m;j++){scanf("%d",&a[i][j]);insert(i,j,i,j,a[i][j]);}}//在指定子矩阵+cint x1,y1,x2,y2,c;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;insert(x1,y1,x2,y2,c);//二维前缀和for (int i = 1;i <= n;i++){for (int j = 1;j <= m;j++){b[i][j] += b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1];}}for (int i = 1;i <= n;i++){for (int j = 1;j <= m;j++)printf("%d ",b[i][j]);printf("\n");}return 0;
}

三、总结

一维差分

void insert(int l,int r,int c)
{b[l] += c;b[r + 1] -= c;
}

二维差分

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{b[x1][y1] += c;b[x2 + 1][y1] -= c;b[x1][y2 + 1] -= c;b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}