【考研数学】高等数学第六模块 —— 空间解析几何（1，向量基本概念与运算）

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引言

我自认空间想象能力较差，所以当初学这个很吃力。希望现在再接触，能好点。

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一、空间解析几何的理论

1.1 基本概念

1.向量 —— 既有大小，又有方向的量称为向量，常用从起点指向终点的带箭头的有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 表示，或用带箭头的小写字母 $\overrightarrow{a}$ 。

向量的大小或长度称为向量的模，向量 $\overrightarrow{a}$ 的模记作 $|\overrightarrow{a}|$ 。特别地，模为 1 的向量称为单位向量，模为 0 的向量称为零向量，记作 ${\overrightarrow{a}}^0$ 。大小相等且方向相同的向量相等。

2.向量的坐标 —— 设 $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ 分别表示 $x,y,z$ 轴正向的单位向量，设向量 $\overrightarrow{a}$ 在三个坐标轴上的投影分别为 $a,b,c$ ，由向量的分解得 a → = a i → + b j → + c k → = { a , b , c } \overrightarrow{a}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}=\{a,b,c\} a =ai +bj ​+ck ={a,b,c} ，称 { a , b , c } \{a,b,c\} {a,b,c} 为向量 $\overrightarrow{a}$ 的坐标。

3.向量的方向角和方向余弦 —— 设 a → = { a , b , c } \overrightarrow{a}=\{a,b,c\} a ={a,b,c} 为非零向量，则 $\overrightarrow{a}$ 与 $x,y,z$ 轴正向的夹角，称为此向量的方向角，分别记为 $\alpha ,\beta ,\gamma$ ，称 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 为 $\overrightarrow{a}$ 的方向余弦。则 $$\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\cos \beta =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\cos \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ 显然，有 a → 0 = { cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ } \overrightarrow{a}^0=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\} a 0={cosα,cosβ,cosγ} ，$\cos {\alpha }^2+\cos {\beta }^2+\cos {\gamma }^2=1$ 。

4.向量在一个轴（向量）上的投影 —— 设 $u$ 为一个数轴，$\overrightarrow{a}$ 为一个向量，过向量的起点 A 和终点 B 作 $u$ 轴的垂直面交 $u$ 轴于点 $A_1,B_1$ ，其在 $u$ 轴上的坐标分别为 $x_1,x_2$ ，称 $x_2-x_1$ 为向量 $\overrightarrow{a}$ 在 $u$ 轴上的投影，记为 $Pr{j}_u\overrightarrow{a}=x_2-x_1$ ，且 $Pr{j}_u\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|\cos (u,\overrightarrow{a})$ 。

1.2 向量的运算

（一）几何描述
加减法，遵循三角形法则。

（二）代数描述
主要说一下叉乘（向量积）的代数形式：

下面是一些运算的性质：

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写在最后

有关向量的基本概念和性质基本就这些，下一篇我们就来看看向量有哪些应用。