深入剖析红黑树：优雅地平衡二叉搜索树

一.红黑树的概念

在之前的学习中，我们了解了二叉搜索平衡树，AVL树通过控制每个结点中的平衡因子的绝对值不超过1，实现了一个高性能的树。而相较于AVL的高度平衡，红黑树觉得AVL为了平衡也付出了代价（插入和删除时进行了多次旋转），所以红黑树在控制平衡上面没有这么严格，只是要求，最长路径不超过最短路径的二倍。那红黑树又是如何控制实现的呢？接下来了解一下红黑树的性质：

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的(任何路径上没有连续两个红结点)
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色结点
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点，也称为NIL结点）

二.插入操作

在我们了解红黑树的性质后，就需要分析相关代码看他如何实现的。首先我们看红黑树结点的定义:
因为map和set的底层使用红黑树实现了，为了之后方便，这里红黑树用了两个模板参数。

#include <iostream>using namespace std;enum Colour
{RED, BLACK
};template<class K,class V>
class RBTreeNode
{
public:RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;Colour _col;RBTreeNode(const pair<K,V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_col(RED){}
};

结点定义中与AVL树差距不大，只是多了个用枚举定义的参数，用来指定是红结点还是黑结点。接下来讲解重点的插入操作：
首先因为红黑树也是二叉搜索树，所以要满足二叉搜索树的基本性质，再者是我们插入的结点的颜色先置为什么能让后面的调整更方便呢。如果黑色需要在后面依据性质4调整，插入红色的话依据性质3调整。明显是4更为复杂，所以我们插入颜色为红色。

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if(_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_col = RED;if (parent->_kv.first > cur->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;///开始调整颜色///开始调整颜色_root->_col = BLACK;return true;
}

上段代码是不涉及调整颜色，只保证二叉搜索树性质。下面开始分类讨论研究如何调整颜色。

如上图所示，插入的cur结点是红色，这时出现了连续的两个红结点，所以就要进行调整。如果parent结点是黑色则不需要调整。我们把10结点和20结点称为parent和grandfather结点，22为uncle结点。
1.当uncle结点为红色时，变色然后继续向上调整

2.当uncle结点不存在时或者为黑时的处理方式相同：

完整代码如下:

	bool Insert(const pair<K, V>& kv){if(_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_col = RED;if (parent->_kv.first > cur->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;//叔叔存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // 叔叔不存在或者为黑都是旋转＋变色{if (cur == parent->_left){RevoR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{RevoL(parent);RevoR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}}}else{Node* uncle = grandfather->_left;//叔叔存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // 叔叔不存在或者为黑都是旋转＋变色{if (cur == parent->_left){RevoR(parent);RevoL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{RevoL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}}}}_root->_col = BLACK;return true;}void RevoL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;parent->_right = curleft;//无论curleft是否为空都要执行这一步if (curleft){curleft->_parent = parent;}cur->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = cur;if (parent == _root){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}}void RevoR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;parent->_left = curright;if (curright){curright->_parent = parent;}cur->_right = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = cur;if (_root == parent)//等价于 ppnode == nullptr{_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{cur->_parent = ppnode;if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}}}

三.与AVL树的比较

红黑树和AVL树的插入效率O(logN)，只是红黑树不像AVL追求如此平衡，所以旋转次数会少，并且实现也较简单。所以在实践中大都使用红黑树。之后我们还是使用红黑树模拟实现map和set。