Fourier变换中的能量积分及其详细证明过程

Fourier变换中的能量积分及其详细证明过程

在使用Fourier变换分析信号时候，有时需要用到能量积分。本文对Fourier变换的能量积分进行分析。

一、Fourier变换中的能量积分

若$F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)]$，则有

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }[f(t){]}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }|F(\omega ){|}^2\mathrm{d}\omega \text{\hspace{1em}(1)}$$
该等式又称为Parseval等式。

二、证明Fourier变换中的能量积分(Parseval 等式)

证明：
根据Fourier变换的乘积定理的推论,令$f_1(t)=f_2(t)=f(t)$,则
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{+\infty }[f(t){]}^2\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)f(t)\mathrm{d}t \\ =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{F(\omega )}F(\omega )\mathrm{d}\omega \\ =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }|F(\omega ){|}^2\mathrm{d}\omega \\ =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }S(\omega )\mathrm{d}\omega \end{gathered}$$
其中，$S(\omega )=|F(\omega ){|}^2$,并将$S(\omega )$称为能量密度函数（或称为能量谱密度）。
证毕.
注解：关于Fourier变换的乘积定理及其推论和证明过程（见本博主文章：链接: Fourier变换的乘积定理及其详细证明过程）.

能量密度函数$S(\omega )$决定了函数$f(t)$的能量在频域的分布规律，将$S(\omega )$对所有频率积分就得到$f(t)$在时间域$(-\infty ,+\infty )$范围的总能量${\int }_{-\infty }^{+\infty }[f(t){]}^2\mathrm{d}t$。因此，Parseval等式又称为能量积分。
此外，还可知能量密度函数$S(\omega )$是一个偶函数，即
$$S(\omega )=S(-\omega )$$.

三、能量积分（Parseval等式）特别注意事项

1. 在 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }[f(t){]}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }|F(\omega ){|}^2\mathrm{d}\omega$等式中，$|F(\omega ){|}^2$表示对$F(\omega )$取模后再平方，而不能写成$[F(\omega ){]}^2$,此处要特别留意该差别。
2. 能量密度函数$S(\omega )$是一个偶函数，即$S(\omega )=S(-\omega )$，它不等于$f(t)$的傅里叶变换（即能量谱密度和频谱是两种不同的计算过程）；而是能量密度函数$S(\omega )$等于$f(t)$的傅里叶变换后取模再平方而得到。