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常用傅里叶变换表

news 2026/2/9 16:06:07

傅里叶展开

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty a_kcoskx+b_ksinkx$

$\left\{\begin{matrix} a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\\ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdx \end{matrix}\right.$

傅里叶变换

$F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}dx$

傅里叶逆变换

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}F(k)e^{ikx}dk$

时域信号

$g(t)\equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}G(\omega)e^{i\omega t}d\omega$

弧频域信号

$G(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)e^{-i2\pi ft}dt$

线性变换

$a\cdot g(t)+b\cdot h(t)\rightarrow a\cdot G(f)+b\cdot H(f)$

时域平移

$g(t-a)\rightarrow e^{-i2\pi af}G(f)$

频域平移

$e^{iat}\rightarrow G(f-\frac{a}{2\pi})$

伸缩变换

$g(at)\rightarrow\frac{1}{|a|}G(\frac{f}{a})$

微分性质

$\frac{d^n}{dt^n}g(t)\rightarrow (i2\pi f)^nG(f)$

逆变换的微分性质

$t^ng(t)\rightarrow (\frac{i}{2\pi})^n\frac{d^n}{df^n}G(f)$

卷积定理

$(g*h)(t)\rightarrow G(f)H(f)$

原函数	变换结果
$e^{iat}$	$\delta(f-\frac{a}{2\pi})$
$e^{-at^2}$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{a}}$
$cos(at)$	$\frac{\delta(f-\frac{a}{2\pi})+\delta(f+\frac{a}{2\pi})}{2}$
$cos(at^2)$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}}cos(\frac{\pi^2f^2}{a}-\frac{\pi}{4})$
$sin(at)$	$\frac{\delta(f-\frac{a}{2\pi})-\delta(f+\frac{a}{2\pi})}{2i}$
$sin(at^2)$	$-\sqrt{\frac{\pi}{a}}sin(\frac{\pi^2f^2}{a}-\frac{\pi}{4})$
$e^{-a\|t\|}(a>0)$	$\frac{2a}{a^2+4\pi^2f^2}$
$\frac{1}{\sqrt{\|t\|}}$	$\frac{1}{\sqrt{\|f\|}}$
$1$	$\delta(f)$
$\delta(t)$	$1$
$t^n$	$(\frac{i}{2\pi})^n\delta^{(n)}(f)$
$\frac{1}{t}$	$-i\pi\cdot sgn(f)$
$\frac{1}{t^n}$	$-i\pi\cdot \frac{(-i2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\cdot sgn(f)$
$sgn(t)$	$\frac{1}{i\pi f}$
$u(t)$	$\frac{1}{2}(\frac{1}{i\pi f}+\delta(f))$
$e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{a+i2\pi f}$
$rect(at)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot sinc(\frac{f}{a})$
$sinc(at)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot rect(\frac{f}{a})$

单位阶跃函数： $u(t)$
符号函数：

$sgn(x)=\left\{\begin{matrix} 1&x>0\\ 0&x=0\\ -1&x<0 \end{matrix}\right.$

矩形函数：

$rect=\left\{\begin{matrix} 1 & |x|<\frac{1}{2}\\ 0 & others \end{matrix}\right.$

辛格函数：

$sinc(x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$

常用傅里叶变换表

傅里叶展开傅里叶变换傅里叶逆变换时域信号弧频域信号线性变换时域平移频域平移伸缩变换微分性质逆变换的微分性质卷积定理原函数变换结果单位阶跃函数： 符号函数： 矩形函数： 辛格函数：...

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本文主要介绍如何展开可变参数的参数包 1.C语言的va_list展开可变参数 #include <iostream> #include <cstdarg>void printNumbers(int count, ...) {// 声明va_list类型的变量va_list args;// 使用va_start将可变参数写入变量argsva_start(args, count);for (in…...

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jmeter聚合报告中参数详解

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git: early EOF

macOS报错： Initialized empty Git repository in /usr/local/Homebrew/Library/Taps/homebrew/homebrew-core/.git/ remote: Enumerating objects: 2691797, done. remote: Counting objects: 100% (1760/1760), done. remote: Compressing objects: 100% (636/636…...

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