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常用傅里叶变换表

news 2025/7/3 13:32:40
  • 傅里叶展开

f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty a_kcoskx+b_ksinkx

\left\{\begin{matrix} a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\\ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdx \end{matrix}\right.

  • 傅里叶变换

F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}dx

  • 傅里叶逆变换

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}F(k)e^{ikx}dk

  • 时域信号

g(t)\equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}G(\omega)e^{i\omega t}d\omega

  • 弧频域信号

G(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)e^{-i2\pi ft}dt

  • 线性变换

a\cdot g(t)+b\cdot h(t)\rightarrow a\cdot G(f)+b\cdot H(f)

  • 时域平移

g(t-a)\rightarrow e^{-i2\pi af}G(f)

  • 频域平移

e^{iat}\rightarrow G(f-\frac{a}{2\pi})

  • 伸缩变换

g(at)\rightarrow\frac{1}{|a|}G(\frac{f}{a})

  • 微分性质

\frac{d^n}{dt^n}g(t)\rightarrow (i2\pi f)^nG(f)

  • 逆变换的微分性质

t^ng(t)\rightarrow (\frac{i}{2\pi})^n\frac{d^n}{df^n}G(f)

  • 卷积定理

(g*h)(t)\rightarrow G(f)H(f)

原函数变换结果
e^{iat}\delta(f-\frac{a}{2\pi})
e^{-at^2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{a}}
cos(at)\frac{\delta(f-\frac{a}{2\pi})+\delta(f+\frac{a}{2\pi})}{2}
cos(at^2)\sqrt{\frac{\pi}{a}}cos(\frac{\pi^2f^2}{a}-\frac{\pi}{4})
sin(at)\frac{\delta(f-\frac{a}{2\pi})-\delta(f+\frac{a}{2\pi})}{2i}
sin(at^2)-\sqrt{\frac{\pi}{a}}sin(\frac{\pi^2f^2}{a}-\frac{\pi}{4})
e^{-a|t|}(a>0)\frac{2a}{a^2+4\pi^2f^2}
\frac{1}{\sqrt{|t|}}\frac{1}{\sqrt{|f|}}
1\delta(f)
\delta(t)1
t^n(\frac{i}{2\pi})^n\delta^{(n)}(f)
\frac{1}{t}-i\pi\cdot sgn(f)
\frac{1}{t^n}-i\pi\cdot \frac{(-i2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\cdot sgn(f)
sgn(t)\frac{1}{i\pi f}
u(t)\frac{1}{2}(\frac{1}{i\pi f}+\delta(f))
e^{-at}u(t)\frac{1}{a+i2\pi f}
rect(at)\frac{1}{|a|}\cdot sinc(\frac{f}{a})
sinc(at)\frac{1}{|a|}\cdot rect(\frac{f}{a})

  • 单位阶跃函数：u(t) 
  • 符号函数：

sgn(x)=\left\{\begin{matrix} 1&x>0\\ 0&x=0\\ -1&x<0 \end{matrix}\right.

  • 矩形函数：

rect=\left\{\begin{matrix} 1 & |x|<\frac{1}{2}\\ 0 & others \end{matrix}\right.

  • 辛格函数：

sinc(x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}

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