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常用傅里叶变换表

news 2025/11/6 20:44:33

傅里叶展开

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty a_kcoskx+b_ksinkx$

$\left\{\begin{matrix} a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\\ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdx \end{matrix}\right.$

傅里叶变换

$F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}dx$

傅里叶逆变换

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}F(k)e^{ikx}dk$

时域信号

$g(t)\equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}G(\omega)e^{i\omega t}d\omega$

弧频域信号

$G(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)e^{-i2\pi ft}dt$

线性变换

$a\cdot g(t)+b\cdot h(t)\rightarrow a\cdot G(f)+b\cdot H(f)$

时域平移

$g(t-a)\rightarrow e^{-i2\pi af}G(f)$

频域平移

$e^{iat}\rightarrow G(f-\frac{a}{2\pi})$

伸缩变换

$g(at)\rightarrow\frac{1}{|a|}G(\frac{f}{a})$

微分性质

$\frac{d^n}{dt^n}g(t)\rightarrow (i2\pi f)^nG(f)$

逆变换的微分性质

$t^ng(t)\rightarrow (\frac{i}{2\pi})^n\frac{d^n}{df^n}G(f)$

卷积定理

$(g*h)(t)\rightarrow G(f)H(f)$

原函数	变换结果
$e^{iat}$	$\delta(f-\frac{a}{2\pi})$
$e^{-at^2}$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{a}}$
$cos(at)$	$\frac{\delta(f-\frac{a}{2\pi})+\delta(f+\frac{a}{2\pi})}{2}$
$cos(at^2)$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}}cos(\frac{\pi^2f^2}{a}-\frac{\pi}{4})$
$sin(at)$	$\frac{\delta(f-\frac{a}{2\pi})-\delta(f+\frac{a}{2\pi})}{2i}$
$sin(at^2)$	$-\sqrt{\frac{\pi}{a}}sin(\frac{\pi^2f^2}{a}-\frac{\pi}{4})$
$e^{-a\|t\|}(a>0)$	$\frac{2a}{a^2+4\pi^2f^2}$
$\frac{1}{\sqrt{\|t\|}}$	$\frac{1}{\sqrt{\|f\|}}$
$1$	$\delta(f)$
$\delta(t)$	$1$
$t^n$	$(\frac{i}{2\pi})^n\delta^{(n)}(f)$
$\frac{1}{t}$	$-i\pi\cdot sgn(f)$
$\frac{1}{t^n}$	$-i\pi\cdot \frac{(-i2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\cdot sgn(f)$
$sgn(t)$	$\frac{1}{i\pi f}$
$u(t)$	$\frac{1}{2}(\frac{1}{i\pi f}+\delta(f))$
$e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{a+i2\pi f}$
$rect(at)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot sinc(\frac{f}{a})$
$sinc(at)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot rect(\frac{f}{a})$

单位阶跃函数： $u(t)$
符号函数：

$sgn(x)=\left\{\begin{matrix} 1&x>0\\ 0&x=0\\ -1&x<0 \end{matrix}\right.$

矩形函数：

$rect=\left\{\begin{matrix} 1 & |x|<\frac{1}{2}\\ 0 & others \end{matrix}\right.$

辛格函数：

$sinc(x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$

常用傅里叶变换表

傅里叶展开傅里叶变换傅里叶逆变换时域信号弧频域信号线性变换时域平移频域平移伸缩变换微分性质逆变换的微分性质卷积定理原函数变换结果单位阶跃函数： 符号函数： 矩形函数： 辛格函数：...

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VisualXML全新升级 | 新增数据库编辑功能

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【Linux】Linux安装并配置RabbitMQ

目录 1. 安装 Erlang 2. 安装 RabbitMQ 2.1.添加 RabbitMQ 仓库 2.2.安装 RabbitMQ 3.配置 3.1.启动和管理服务 4. 访问管理界面 5.安装问题 6.修改密码 7.修改端口 7.1.找到文件 7.2.修改文件 1. 安装 Erlang 由于 RabbitMQ 是用 Erlang 编写的，需要先安…...

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TJCTF 2025

还以为是天津的。这个比较容易，虽然绕了点弯，可还是把CP AK了，不过我会的别人也会，还是没啥名次。记录一下吧。 Crypto bacon-bits with open(flag.txt) as f: flag f.read().strip() with open(text.txt) as t: text t.read…...

编程新知 2025/11/3 10:38:20

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