主定理(简化版)
主定理(Master Theorem)是用于分析递归算法时间复杂度的一个重要工具。它适用于形式化定义的一类递归关系,通常采用分治策略解决问题的情况。
假设我们有一个递归算法,它将问题分解成 a a a 个子问题,每个子问题的规模是原问题的 1 b \frac{1}{b} b1,解决每个子问题的代价是 f ( n ) f(n) f(n),而将子问题的解合并成原问题的解的代价是 g ( n ) g(n) g(n)。那么该递归算法的时间复杂度可以表示为:
T ( n ) = a ⋅ T ( n b ) + f ( n ) T(n)=a·T(\frac{n}{b})+f(n) T(n)=a⋅T(bn)+f(n)
其中, a ≥ 1 , b > 1 a ≥ 1,b > 1 a≥1,b>1 是常数, f ( n ) f(n) f(n) 是解决一个规模为 n n n 的问题所需的工作量, g ( n ) g(n) g(n) 是合并子问题的解的工作量。
主定理的三种情况:
- I F IF IF f ( n ) = O ( n l o g b ( a − ε ) ) f(n) = O(n^ {log_b(a - ε)}) f(n)=O(nlogb(a−ε)),and ε > 0 ε > 0 ε>0,Then T ( n ) = Θ ( n l o g b ( a ) ) T(n) = Θ(n^{log_b(a)}) T(n)=Θ(nlogb(a))
- I F IF IF f ( n ) = Θ ( n l o g b ( a ) ⋅ l o g k n ) f(n) = Θ(n^{log_b(a)} ·log^k n) f(n)=Θ(nlogb(a)⋅logkn),and k ≥ 0 k ≥ 0 k≥0,Then T ( n ) = Θ ( n l o g b ( a ) ⋅ l o g k + 1 n ) T(n) = Θ(n^{log_b(a)} · log^{k+1} n) T(n)=Θ(nlogb(a)⋅logk+1n)
- I F IF IF f ( n ) = Ω ( n l o g b ( a + ε ) ) f(n) = Ω(n^{log_b(a + ε)}) f(n)=Ω(nlogb(a+ε)),and ε > 0 ε > 0 ε>0, a ⋅ f ( n b ) ≤ c ⋅ f ( n ) a · f(\frac{n}{b}) ≤ c · f(n) a⋅f(bn)≤c⋅f(n) 对于某个常数 c < 1 c < 1 c<1 和所有足够大的 n n n 成立,Then T ( n ) = Θ ( f ( n ) ) T(n) = Θ(f(n)) T(n)=Θ(f(n))
情况一:
T ( n ) = 4 T ( n 2 ) + n T(n)=4T(\frac{n}{2})+n T(n)=4T(2n)+n
其中 a = 4 ≥ 1 , b = 2 > 1 , f ( n ) = n , l o g 2 4 = 2 > 1 a = 4\ge1,b = 2>1,f(n) = n,log_{2}4=2>1 a=4≥1,b=2>1,f(n)=n,log24=2>1。
根据主定理的第一种情况: f ( n ) = O ( n l o g b ( a − ε ) ) f(n) = O(n^ {log_b(a - ε)}) f(n)=O(nlogb(a−ε))
可得 n = O ( n l o g 2 4 − ε ) = O ( n 2 ) n=O(n^{log_{2}4−ε})=O(n^{2}) n=O(nlog24−ε)=O(n2)
∴ T ( n ) = Θ ( n 2 ) \therefore T(n)=Θ(n^{2}) ∴T(n)=Θ(n2)
情况二:
T ( n ) = 4 T ( n 2 ) + n 2 T(n)=4T(\frac{n}{2})+n^{2} T(n)=4T(2n)+n2
其中 a = 4 ≥ 1 , b = 2 > 1 , f ( n ) = n 2 , l o g 2 4 = 2 a = 4\ge1,b = 2>1,f(n) = n^{2},log_{2}4=2 a=4≥1,b=2>1,f(n)=n2,log24=2。
根据主定理的第二种情况: f ( n ) = O ( n l o g b ( a ) l o g k n ) f(n) = O(n^ {log_b(a )}log^{k}n) f(n)=O(nlogb(a)logkn)
可得 n 2 = Θ ( n l o g 2 4 l o g 0 n ) = Θ ( n 2 ) n^{2}=Θ(n^{log_{2}4}log^{0}n)=Θ(n^{2}) n2=Θ(nlog24log0n)=Θ(n2)
∴ T ( n ) = Θ ( n 2 l o g n ) \therefore T(n)=Θ(n^{2}logn) ∴T(n)=Θ(n2logn)
情况三:
T ( n ) = 2 T ( n 2 ) + n 2 T(n)=2T(\frac{n}{2})+n^{2} T(n)=2T(2n)+n2
其中 a = 2 ≥ 1 , b = 2 > 1 , f ( n ) = n 2 , l o g 2 2 = 1 < 2 a = 2\ge1,b = 2>1,f(n) = n^{2},log_{2}2=1<2 a=2≥1,b=2>1,f(n)=n2,log22=1<2。
根据主定理的第三种情况: f ( n ) = Ω ( n l o g b ( a ) + ε ) f(n) = Ω(n^ {log_b(a )+ε }) f(n)=Ω(nlogb(a)+ε)
可得 n 2 = Ω ( n l o g 2 2 + ε ) = Ω ( n 1 + ε ) n^{2}=Ω(n^{log_{2}2+ε})=Ω(n^{1+ε}) n2=Ω(nlog22+ε)=Ω(n1+ε)
但我们还需要检查是否满足 a ⋅ f ( n b ) ≤ c ⋅ f ( n ) a · f(\frac{n}{b}) ≤ c · f(n) a⋅f(bn)≤c⋅f(n) 的条件:
2 ⋅ ( n / 2 ) 2 ≤ c ⋅ n 2 n 2 / 2 ≤ c ⋅ n 2 1 / 2 ≤ c 2·(n/2)^{2}≤c·n^{2}\\ n^{2}/{2}≤c·n^{2}\\ 1/2≤c 2⋅(n/2)2≤c⋅n2n2/2≤c⋅n21/2≤c
对于任何小于 1/2 的常数 c c c,上述不等式都成立
∴ T ( n ) = Θ ( n 2 ) \therefore T(n)=Θ(n^{2}) ∴T(n)=Θ(n2)
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