【算法设计技巧】分治算法

分治算法

用于设计算法的另一种常用技巧为分治算法(divide and conquer)。分治算法由两部分组成：

• 分(divide)：递归解决较小的问题(当然，基准情况除外)
• 治(conquer)：然后，从子问题的解构建原问题的解。

传统上，在其代码中至少含有两个递归调用的例程叫作分治算法，且一般认为子问题是不相交的(即基本上不重叠)。例如，最大子序列和问题的一个 O(N logN) 的解法，以及分治算法的经典例子：归并排序 和 快速排序，它们分别有 O(N logN) 的最坏情形以及平均时间的时间界。

分治算法的运行时间

有效的分治算法都是把问题分成一些子问题，每个子问题都是原问题的一部分，然后进行某些附加的工作以算出最后的答案。例如，归并排序对两个问题进行运算，每个问题均为原问题大小的一半，然后用到 O(N) 的附加工作。由此得到运行时间方程(带有合适初始条件)：

T(N) = 2T(N/2) + O(N)

该方程的解为 O(N logN)。下面的定理可以用来确定大部分分治算法的运行时间。

方程 T(N) = aT(N/b) + O(N^k) 的解为

其中 a ≥ 1 以及 b ＞1。

最近点问题

问题的输入是平面上的点集 P。如果 p₁ = (x₁, y₁) 和 p₂ = (x₂, y₂)，那么 p₁ 和 p₂ 间的欧几里得距离为 [ (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)² ]^1/2 。需要找出一对最近的点。这其中有可能两个点位于相同的位置，在这种情况下它们的距离为 0。

如果存在 N 个点，那么就存在 N(N-1)/2 对点间的距离。

第一种方法是检查所有这些距离，能够得到一个很短的程序，但却是花费 O(N²) 的算法，也就是穷举搜索的算法。

//计算点对间最小距离的蛮力算法
//计算点对间最小距离的蛮力算法
for (i = 0; i < numPointsInStrip; ++i)for (j = i + 1; j < numPointsInStrip; ++j)if (dist(pi, pj) < δ)δ = dist(pi, pj);

假设平面上这些点已经按照 x 的坐标排过序，这只不过顶多在最后的时间界上仅加了 O(N logN) 而已，因为整个算法都将是 O(N logN) 的，所以排序基本上没增加运行时间消耗级别。

图1 画出了一个小的样本点集 P。若这些点已按 x 坐标排序，那我们可以画一条想象的垂线，把 P 分成两半：P_L 和 P_R 。

最近的一对点或者都在 P_L 中，或者都在 P_R 中，或者一个点在 P_L 中而另一个在 P_R 中。这三个距离在图2 中标出。

我们可以递归地计算 d_L 和 d_R。由于想要一个 O(N logN) 的解，因此必须能够只用 O(N) 的附加工作计算出 d_C 。即，如果一个过程由两个一半大小的递归调用和附加的 O(N) 工作组成，那么总的时间将是 O(N logN)。

令 δ = min (d_L, d_R)。如果 d_C 对 δ 有所改进，那么只需计算 d_C 。如果 d_C 是这样一个距离，则决定 d_C 的两个点必然在分割线的 δ 距离之内，把这个条形局域叫作带(strip)。如图3 所示，这个观察结果消减了需要考虑的点的个数(此例中的 δ = d_R)。

有两种方法可以用来计算 d_C，由于平均只有 O(N^1/2) 个点在这个带中，因此第一种方法可以以 O(N²) 时间对这些点进行蛮力计算。但在最坏情况下，所有的点可能都在这条带状区域内，因此这种算法不总能以线性时间运行。

改进算法：确定 d_C 的两个点的 y 坐标之间相差最多是 δ，否则就会有 d_C ＞ δ。设带中的点按照它们的 y 坐标排序。因此，如果 p_i 和 p_j 的 y 坐标相差大于 δ，则可以再去继续处理 p_i+1。

//最小距离的精化计算
for (i = 0; i < numPointsInStrip; ++i)for (j = i + 1; j < numPointsInStrip; ++j)if(pi and pj 's y-coordinates differ by more than δ)break; //转向下一个pielseif (dist(pi, pj) < δ)δ = dist(pi, pj);

选择问题

选择问题要求我们找出 N 个元素集合 S 中的第 k 个最小的元素。

基本的算法是简单的递归策略。设 N 大于截止点(cutoff point)，元素将从截止点开始进行简单的排序，v 是选出的一个元素，叫作枢纽元(pivot)。其余元素被放在两个集合 S₁ 和 S₂ 中，S₁ 含有那些保证不大于 v 的元素，而 S₂ 包含那些不小于 v 的元素。最后，如果 k ≤ |S₁|，那么 S 中的第 k 个最小的元素就可以通过递归地计算 S₁ 中第 k 个最小的元素而找到。如果 k = |S₁| +1，则枢纽元就是第 k 个最小的元素。否则，在 S 中的第 k 个最小的元素是 S₂ 中的第 (k - |S₁| - 1) 个最小元素。这个算法和快速排序之间的主要区别在于，这里只有一个子问题而不是两个子问题要被求解。

五元中值组取中值分割法

对于快速排序，枢纽元一种好的选择是选取 3 个元素并取它们的中位数。但它并不提供一种好的保证。为得到一个好的最坏情形，关键想法是再用一个间接层。不是从随机元素的样本中找出中值，而是从一些中值的样本中找出中值。

基本的枢纽元选择算法如下：

1. 把 N 个元素分成 ⌊N/5⌋ 组，每组5个元素，忽略剩余的（最多4个）元素。
2. 找出每组的中值，得到 ⌊N/5⌋ 个中值的表M。
3. 再求出 M 的中值，将其作为枢纽元 v 返回。

使用五元中值组取中值分割法的快速选择算法的运行时间为 O(N)。

整数相乘

设要将两个 N 位数字的数 X 和 Y 相乘，并假设它们都是正的。几乎人在手算时用的算法都需要 O(N²) 次运算，这是因为 X 中的每一位数字都要被 Y 的每一位数字去乘。

如果 X = 61 438 521 而 Y = 94 736 407，那么 XY = 5 820 464 730 934 047。将 X 和 Y 拆成两半，分别由最高几位和最低几位数字组成。此时，X_L = 6143，X_R = 8521，Y_L = 9473，Y_R = 6407。则有 X = X_L10⁴ + X_R 以及 Y = Y_L10⁴ +Y_R，由此得

    XY = X_LY_L10⁸ + (X_LY_R + X_RY_L)10⁴ + X_RY_R。

这个方程由4次乘法组成，即X_LY_L、X_LY_R、 X_RY_L 和 X_RY_R。它们每一个都是原问题大小的一半(N/2位数字)。若递归地使用该算法进行这4项运算，则得到递归

    T(N)=4T(N/2) +O(N)

可知T(N) = O(N²)，为得到一个亚二次的算法，必须使用少于4次的递归调用，有

    X_LY_R + X_RY_L = (X_L - X_R) (Y_R - Y_L) + X_LY_L +X_RY_R

此时的递归方程

    T(N)=3T(N/2) +O(N)

从而得到 T(N) = O(N^1.59)。