【算法练习Day44】最长递增子序列最长连续递增序列最长重复子数组

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本期是求子序列的新的一期，题目前两道有一些相似之处，思路差不多，第三道有一点难度，但并不意味着第一道没有难度，没有做过该类型题的选手，并不容易解出题解。

最长递增子序列

300. 最长递增子序列 - 力扣（LeetCode）

题目大意是给一个数组，要求返回最长的递增的序列，题目要求是删除中间一些元素，或者不删除也可以，返回最长的递增的数组长度，又是一道这种题目，如果你是之前做过类似题目大意的朋友应该知道，通常来说要求可以删除中间元素的，通常我们都不是真的删除数据，而是通过遍历来间接的实现删除中间的数据的过程，换句话来说，不是真正删除数据，而是要删除的数据我们不处理它。

dp数组的含义：dp【i】代表到该位置为止，i之前包括i的最长的递增子序列是多大。但是需要注意的是，整体的最长的递增子序列，可不一定是dp数组的最后一个数据，因为很可能，我们要找的最长递增序列结尾在前面就已经出现了，而遍历到数组最后一个位置，可能只是不同的递增子序列路线，不一定是长的。

递推公式：由于递增子序列，很有可能不是连续的，需要删除部分数据，那么我们如何实现这一部分的代码呢？答案是用两个循环，一个是外层循环控制遍历到数组中的哪一个位置了，另一个内层循环是重复遍历从起始位置到i这个位置，如果出现前面的0-i的数据比当前遍历到的数小，那么递增子序列长度＋1，这也就是相当于不符合条件的数据我们直接略过去，符合条件的再使长度+1，间接的删除了多余数据

也就是

if（nums【j】< nums【i】）dp【i】=max（dp【i】，dp【j】+1）

取最大值，看看它原本的大还是遍历完的最长递增子序列长度大。每次j都会从头开始遍历一次，看看这回多出来的那个数据是否能使子序列长度增加。

dp数组初始化：dp数组的初始化都是初始化为1，这是因为如果只有一个数据的话，那么最长递增子序列肯定是1，不可能返回0，而其他的为什么也初始化为1呢？因为如果出现大于1的递增子序列长度那么就一定会被递推公式所覆盖，所以我们都初始化为1。

遍历顺序：都是从前向后遍历，不用多说。

class Solution {
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {vector<int>dp(nums.size(),1);int result=1;for(int i=1;i<nums.size();i++){for(int j=0;j<i;j++){if(nums[i]>nums[j])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);}if(result<dp[i])result=dp[i];}return result;}
};

代码中的result的用处就是，记录最长的递增子序列有多长，然后最后返回它。

最长连续递增序列

674. 最长连续递增序列 - 力扣（LeetCode）

这道题和上一道题很像，只不过这道题我们要求的是连续的递增子序列了，连续的递增子序列，我个人认为要比非连续的要好写，或者说好想一点。

dp数组含义：dp数组的含义和上一道题一样，也是到该位置为止，i之前包括i的最长的连续递增子序列是多长，但是我觉得这种含义太抽象了，不利于初学者理解，我认为可以将这句话翻译为以i结尾的这条递增序列有多长，这其实也就间接的证明了我们之前所说的含义，即最后一个下标的dp数组所代表的数据，并不一定是最大的。因为它代表的应该是以i为结尾的这条递增序列最长有多长。

递推公式：由于是连续的最长递增序列，所以我们只看是否是连续递增就可以了，那么连续就体现在上一个数字和这一个数字的比较

if（nums【i】==nums【i-1】）dp【i】=dp【i-1】+1；

dp数组初始化和遍历顺序都和上一道题一样，不做赘述。

class Solution {
public:int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {vector<int>dp(nums.size(),1);int result=1;for(int i=1;i<nums.size();i++){if(nums[i]>nums[i-1])dp[i]=dp[i-1]+1;result=max(result,dp[i]);}return result;}
};

最长重复子数组

718. 最长重复子数组 - 力扣（LeetCode）

这道题是略有难度的一道题，为什么说它略有难度呢？并不是递推公式有多难理解，而是dp数组的的表示，要清楚的想到有一些难度。

dp数组的含义：这是给我们两个数组，然后让我们求重复的连续部分最长有多长，这是我们就需要使用二维数组来表示了，其中一维表示一个数组，另一维表示另一数组，而dp【i】【j】表示的是第一个数组的i-1位置，下标对应的第二个数组的j-1下标位置，最长的重复子数组有多长，那么为什么我们要表示i-1和j-1呢？直接表示i和j不好吗？这样定义是为了方便dp数组的初始化，在下面还有对此处的详解。

递推公式：从哪个方向上能够推出dp【i】【j】呢？当数组1的i-1下标位置的数字和数组2下标为j-1的位置数字相等的时候，不就是说明两数组有一数字重复吗，此时就是长度+1，那么递推公式就理所当然的是

if（nums1【i-1】==nums2【j-1】）dp【i】【j】=dp【i-1】【j-1】+1；

就是上一个长度再加上这回匹配成功的长度1。

dp数组的初始化：看到这里相信大家可能已经带有一些疑问了，这样定义dp数组那么当遍历到i和j等于0的时候，不就出问题了吗？这也正是初始化所要解决的问题，正是因为我们这样定义dp数组导致了当i和j其中一个为0时候，是非法的，所以我们初始化第一行和第一列时候全部初始化为0，其余部分因为有递推公式的存在，每个位置是依靠前一个位置的值，所以i和j非0部分初始化为什么都可以。那么为什么我们要这样定义数组呢？因为如果dp【i】【j】就是表示它处在i和j的位置上时候有多长，这会导致初始化i和j其一等于0时，也就是二维数组的第一行和第一列可能不全为0，这会增大初始化的代码强度，可能第一个数组i==0的时候第二个数组的j对应某位置两数组有数据相等，也就是第一行某处有位置应该初始化为1，讲到这里大家反复揣摩一下，用笔画一下，可能就明白了。

遍历顺序：遍历顺序还是从前向后，两个for循环，分别遍历第一个数组和第二个数组，从前向后查看是否有相等的元素出现。

class Solution {
public:int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {vector<vector<int>>dp(nums1.size()+1,vector<int>(nums2.size()+1,0));int result=0;for(int i=1;i<=nums1.size();i++){for(int j=1;j<=nums2.size();j++){if(nums1[i-1]==nums2[j-1])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;result=max(result,dp[i][j]);}}return result;}
};

以上就是本章的全部内容，子序列问题起初做都没有什么思路，要勤加练习思维，才能够想出用动态规划解决问题的思路。

总结：

今天我们完成了最长递增子序列、最长连续递增序列、最长重复子数组三道题，相关的思想需要多复习回顾。接下来，我们继续进行算法练习。希望我的文章和讲解能对大家的学习提供一些帮助。

当然，本文仍有许多不足之处，欢迎各位小伙伴们随时私信交流、批评指正！我们下期见~