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比例恒等式(分式恒等式)

• 设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$(0)令这个比值为$k$,则$a=kb$(0-1),$c=kd$(0-2),以下恒等式在表达式有意义的情形下成立(例如分母不为0)

• 合比定理:$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$(1)

  • 对式(0)两边同时加$1$,得$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$,通分得式(1)

• 分比定理:$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$(2)

  • 对式(0)两边同时减1,得式(2)
  • 也可以由合比定理将$b$用$-b$代替得到

• 合分比定理:$\frac{a+b}{c-b}=\frac{c+d}{c-d}$(3)

  • 由式(1)比去式(2),即得(3)

• $\frac{a}{c}$=$\frac{b}{d}$(4)

  • 将(0-1,0-2)得$\frac{a}{c}$=$\frac{kb}{kd}$=$\frac{b}{d}$

• 若$\frac{a+c}{b+d}=k$,即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$=$\frac{a+c}{b+d}$=$k$(5)

  • 由(0-1,0-2),得$\frac{a+c}{b+d}$=$\frac{k(b+d)}{b+d}$=$k$

分式等式链

• 推广:若$\frac{a_1}{b_1}$=$\cdots$=$\frac{a_n}{b_n}$=$k$,则$\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i}$=$k$(6)

  • 设 I = { 1 , 2 , ⋯ , n } I=\set{1,2,\cdots,n} I={1,2,⋯,n},$S$是从$I$中任意选出$m$个元素构成的几何$(m\in [1,n],m\in {\mathbb{N}}_{+})$,都有$\frac{{\sum }_{i\in S}{a}_i}{{\sum }_{i\in S}{b}_i}$=$k$(6-1)

  • $\frac{{\sum }_{i\in S}{k}_i{a}_i}{{\sum }_{i\in S}{k}_i{b}_i}$=$k$,(6-2)其中 k i ∈ { − 1 , 1 } k_i\in\set{-1,1} ki​∈{−1,1}

    • 因为$\frac{a_i}{b_i}=\frac{-a_i}{-b_i}$=$k$,再由结论(5),可知结论(6-2)成立

例

• 设$\frac{y}{x}=\frac{y+z}{x+z}$=$k$,则$k=1$
  • 由性质(5),$\frac{y}{x}$=$\frac{y+z-y}{x+z-x}$=$\frac{z}{z}$=1;所以$k=1$,即$x=y$
  • 方法2:$y=kx$;$y+z=kx+kz$,联立得$k=1$,即$x=y$