层次分析法--可以帮助你做决策的简单算法

作用

层次分析法是一个多指标的评价算法，主要用来在做决策时，给目标的多个影响因子做权重评分。特别是那些需要主观决策的、或者需要用经验判断的决策方案，例如：

• 买房子（主观决策）
• 选择旅游地（主观决策）
• 给员工进行绩效评估（经验判断）
• 选择开店地址（经验判断）

实现步骤

构建层次评价模型

一般可以分为三个层次：目标层、准则层和方案层。如图，目标层：最优旅游地选择；准则层：景色、费用、居住、饮食、旅途；方案层：西安、云南、西藏、青海。

构造判断矩阵

构造判断矩阵就是将准则层各要素之间两两相互比较，确定各要素对目标层的重要程度（权重）。

准则层A构建如下：

准则层A各要素必须满足如下条件：即各要素必须大于0；对角线必须等于1；对角线对称的元素互为倒数。

标度值的大小如图所示方法进行配置

层次单排序与一致性检验

层次单排序就是根据我们构成的判断矩阵，求解各个指标的权重。

计算权重有两种方法：方根法、和法。

计算权重

方根法

1、通过计算每行乘积的m次方，得到m维向量。

示例中的计算如图

2、将向量标准化，得到权重

计算示例的权重如图

和法

1、先将矩阵的每列进行标准化

2、将标准化后的各元素按行求和

3、将求和结果进行标准化

求解最大特征根λmax与CI值

以上，求得权重矩阵后，可以计算最大特征根，其公式为：

其中n为维度数，例如构建的判断矩阵为：景色、费用、居住、饮食、旅途时，n=5；

AW为：判断矩阵*标准化后的权重，然后按按行的累加值。

即判断矩阵A为：

标准化后权重W为：

其中A*W为：

AW：

λmax：

AW1/W1+AW2/W2+AW3/W3+···+AWn/Wn=x

最大特征值λmax=x/矩阵阶数=5.416

最大特征值λmax求解出来后，C.I值就好算多了，

根据C.I值公式，λmax=5.416，n=5，代入可得C.I值=0.1042

求解CR值，判断一致性

一致性校验目的是确定构建的判断矩阵是否有逻辑问题。例如，如果a相当于b为3，a相当于c为1/3，在判断b相当于c时，理应c比b重要。

RI值通过查表可以得知，这个是模拟 1000 次得到的随机一致性指标 R.I.：

而我们的矩阵是5阶（准则层因子个数），矩阵阶数为5时对应的RI值为1.12，代入公式，可以得到C.R.值为 0.1042 / 1.12 = 0.093。

所以 C.R.=0.093

层次总排序与一致性检验

层次总排序，其实就是通过类型层次单排序的方法来给方案打分。即上一步的层次单排序通过判断矩阵计算出了景色、费用、居住、饮食和旅途的权重。现在如果想要知道目标地的权重，那就再构建一个判断矩阵，利用层次单排序计算目标地点的权重，即目标方案的分数。

层次单排序是对一个目标下的多个影响因子，计算各个因子的权重，例如下图中的Z和A1、A2、A3、A4和A5。或者将A1（景色）作为目标，B1、B2和B3作为影响因子，计算B1、B2和B3的权重，即苏杭、北戴河和桂林对目标景色的重要性。

具体做法是这样的。根据上一步算出来的各个因素的权重，确定A1~A5的权重为

现在我想计算方案B1苏杭的权重，那么我们就要重复上个步骤的层次单排序的方法，首先构建一个判断矩阵

依此类推，上述步骤循环5次，就能得到苏杭、北戴河、桂林在景色上的得分矩阵A1，在费用上的得分矩阵A2，在居住上的得分矩阵A3，在饮食上的得分矩阵A4，在旅途上的得分矩阵A5：

以上的判断矩阵全部需要做一致性校验。

通过判断矩阵再计算苏杭、北戴河、桂林在景色、费用等因素上的权重。

对于方案B1（苏杭），它的总得分为：

苏杭在景色上的得分*景色的权重+苏杭在费用上的得分*费用的权重+苏杭在居住上的得分*居住的权重+苏杭在饮食上的得分*饮食的权重+苏杭在旅途上的得分*旅途的权重=0.5954*0.3104+0.819*0.0591+0.4286*0.1157+0.6337*0.4716+0.1667*0.0432=0.5889

以此类推，方案B2（北戴河）为

0.2764*0.3104+0.2363*0.0591+0.4286*0.1157+0.1919*0.4716+0.1667*0.0432=0.2471

方案B3（桂林）：

0.1283*0.3104+0.6817*0.0591+0.1429*0.1157+0.1744*0.4716+0.6667*0.0432=0.2077

因此苏杭得分最高，选择去苏杭。

总结

层次分析法的核心其实就是层次单排序。层次单排序是对一个目标下的多个影响因子，计算各个因子对于该目标的权重。利用层次单排序我们就能在一个树型结构的层次评价模型里，由最上层的目标层层递进向下，最终得到树的叶子节点的权重，即我们想要得到的各个方案的权重。

当我们把一个树模型上的所有节点的得分（可以理解为对上一层的权重）都计算出来之后，最终的方案的权重也就出来了。