当前位置： 首页 > news >正文

线性代数 - 几何原理

news 2026/4/27 12:45:26

在这里插入图片描述

目录

  • 序言
  • 向量的定义
  • 线性组合、张成空间与向量基
  • 线性变换和矩阵
  • 线性复合变换与矩阵乘法
  • 三维空间的线性变换
  • 行列式
  • 矩阵的秩和逆矩阵
  • 维度变换
  • 点乘
  • 叉乘
  • 基变换
  • 特征值和特征向量
  • 抽象向量空间

序言

1.png

欢迎阅读这篇关于线性代数的文章。在这里，我们将从一个全新的角度去探索线性代数，不再仅仅局限于数值计算，而是深入理解其背后的几何原理。我们将一起探讨向量、线性变换、矩阵、行列式、点乘、叉乘、基向量等核心概念，以及它们如何在实际问题中发挥作用。无论你是初学者，还是想要复习和加深理解，这篇文章都将为你提供清晰、深入的解析。让我们一起打开线性代数的神秘面纱，探索其丰富而美妙而美妙的世界。

向量的定义

  • 物理学：长度决定标量，加上方向决定矢量
  • 计算机：有序的数字序列，如数组
  • 数学：结合二者的概念，向量是空间中以原点为起点有方向并且有序的数字列表

线性组合、张成空间与向量基

1.png

  • 向量 i j 是 xy坐标系的基向量，是张成该空间的一个线性无关的向量集

2.png

  • 选取不同的基向量，它全部线性组合构成的向量集合被称为“张成的空间”

3.png

  • 三维向量的张成空间

5.png

4.png

  • 线性相关：一组向量至少有一个是多余的，没有对张成空间做出任何贡献
  • 线性无关：对张成空间有贡献，增加维度

线性变换和矩阵

6.png
定义：保持网格线平行并且等距分布的变换

7.png

  • 可以根据线性变化后的基向量进行计算，关系根据原有的坐标值

8.png

  • 矩阵的列看作变换后的基向量，矩阵向量乘法看作他们的线性组合，是对几何空间的一种线性变换

线性复合变换与矩阵乘法

8.png

9.png

  • 本质上还是计算基向量的最终变化

三维空间的线性变换

10.png

12.png

  • 和二维的本质一样，只是多了一个维度罢了

行列式

14.png

  • 线性变换会挤压伸缩空间，行列式就是计算给定区域相对于基向量面积增大或减小的比例

13.png

  • 行列式为负说明坐标系定向空间翻转了

矩阵的秩和逆矩阵

15.png

  • 秩代表变换空间后的维度，线性相关会减少维度
  • 行列式不为0， 还原变换后的基向量到原本定义的时候

维度变换

1.png

2.png

点乘

1.png
2.png

  • 向量u是一维空间的基向量，我们要计算二维空间的基向量经过什么线性变换到达一维空间的矩阵

4.png

  • 点乘就是将其中一个向量转换为线性变换的过程
  • 向量点乘可以判断两个向量的方向如何，是否垂直

叉乘

1.png

4.png

  • 这里的几何概念有点没懂

基变换

  • 两种坐标系如何转换，一种是自定义的基向量 i j，另一种是变换的基向量，后面假设叫珍妮弗的坐标系

1.png

2.png

  • 这张就是用基本的坐标系表达珍妮弗的坐标系
  • 用我们的标准表达出基向量，然后进行计算

1.png

1.png

  • 先变成珍妮弗的坐标，然后进行翻转，最后用珍妮弗的坐标规范定义我们的坐标格式

特征值和特征向量

1.png

1.png

  • 向量（特征向量）在进行线性变换时，没有离开它所在的张成空间，只是缩放了一定倍数（特征值 ）

1.png

  • 空间维度就是经过（A - I）变换后，会落在零空间。这就要求维度必须降维，行列式为0
  • 特殊情况：基向量默认是特征向量

抽象向量空间

1.png

2.png

1.png

  • 向量可以是任何的事物，只需要满足线性的严格定义和数学家规范的准则就行了

任何具有普适性的理论都会变得抽象

相关文章：

线性代数 - 几何原理

目录 序言向量的定义线性组合、张成空间与向量基线性变换和矩阵线性复合变换与矩阵乘法三维空间的线性变换行列式矩阵的秩和逆矩阵维度变换点乘叉乘基变换特征值和特征向量抽象向量空间 序言 欢迎阅读这篇关于线性代数的文章。在这里，我们将从一个全新的角度去探索线…...

编程日记 2023/11/24 7:44:41

火电厂电气部分设计

摘要 本文首先根据任务书上所给系统与线路及所有负荷的参数，分析负荷发展趋势。从负荷增长方面阐明了建站的必要性，然后通过对拟建变电站的概括以及出线方向来考虑，并通过对负荷资料的分析，安全，经济及可靠性方面考虑…...

编程日记 2023/11/24 7:43:40

界面组件DevExpress Reporting v23.1 - Web报表设计器功能升级

DevExpress Reporting是.NET Framework下功能完善的报表平台，它附带了易于使用的Visual Studio报表设计器和丰富的报表控件集，包括数据透视表、图表，因此您可以构建无与伦比、信息清晰的报表 界面组件DevExpress Reporting v23.1已经发布一段…...

编程日记 2023/11/24 7:42:39

小程序Canvas 2D问题解决，如安卓drawImage不执行、动态高度设置、高度1365(或4096)限制等

我的最新版小程序想在绘制时使用自定义字体，需要将旧版canvas升级到2d新版，发现了许多问题，下面记录一下并提供解决思路，仅供参考，欢迎提供新思路。 一、开发工具和安卓上drawImage不执行，绘制出来是空白&…...

编程日记 2023/11/24 7:41:38

人工智能对网络安全的影响越来越大

如果问当前IT行业最热门的话题是什么，很少有人会回答除了人工智能（AI）之外的任何话题。 在不到 12 个月的时间里，人工智能已经从一项只有 IT 专业人员才能理解的技术发展成为从小学生到作家、程序员和艺术家的每个人都使用的工具…...

编程日记 2023/11/24 7:40:36

JavaEE(SpringMVC)期末复习

文章目录 JavaEE期末复习一、单选题： JavaEE期末复习 一、单选题： 1.Spring的核⼼技术是（ A ）？ A依赖注入 B.JdbcTmplate C.声明式事务 D.资源访问 Spring的核心技术包括依赖注入（Dependency Injection&am…...

编程日记 2023/11/24 7:39:36

微服务保护 Sentinel

1.初识Sentinel 文章目录 1.初识Sentinel1.1.雪崩问题及解决方案1.1.1.雪崩问题1.1.2.超时处理1.1.3.仓壁模式1.1.4.断路器1.1.5.限流1.1.6.总结 1.2.服务保护技术对比1.3.Sentinel介绍和安装1.3.1.初识Sentinel1.3.2.安装Sentinel 1.4.微服务整合Sentinel 2.流量控制2.1.簇点链…...

编程日记 2023/11/24 7:38:35

【无标题】文本超过一行隐藏，鼠标经过显示提示框

创建一个组件专门用来出来文字的 <template><div class"tooltip-wrap"><el-tooltipref"tlp":content"text"effect"dark":disabled"!tooltipFlag":placement"placement"popper-class"tooltip…...

编程日记 2023/11/24 7:37:32

成为独立开发者有多难

首先自我介绍&#xff1a;我是一名前端开发工程师&#xff0c;7年的前端开发经验。CSDN 九段刀客_js,vue,ReactNative-CSDN博客,80多万的访问量&#xff0c;1万多的粉丝。 相信80%的程序员的终极梦想都是成为一名独立开发者&#xff0c;不用找工作有自己的产品可以有睡后收入。…...

编程日记 2023/11/24 7:36:31

C++ 正则表达式使用

C 11 以后有了正则表达式,对于处理字符串还是很方便的.由于我也再学习.所以下面的内容有可能描述的不准确,这些都是我自己代码中使用的,或者demo测试的. 首先使用正则表达式先要添加头文件 #include <regex> 然后编写自己的正则表达式: 例如我想匹配字符串中表示数字…...

编程日记 2023/11/24 7:35:30

VSCode任务tasks.json中的问题匹配器problemMatcher的问题匹配模式ProblemPattern详解

☞ ░ 前往老猿Python博客 ░ https://blog.csdn.net/LaoYuanPython 一、简介 在 VS Code 中&#xff0c;tasks.json 文件中的 problemMatcher 字段用于定义如何解析任务输出中的问题&#xff08;错误、警告等&#xff09;。 problemMatcher有三种配置方式&#xff0c;具体可…...

编程日记 2023/11/24 7:33:28

CSS 实现文本框签名

<div class"textarea-prepend"><textarea rows"6" placeholder"请输入消息内容"></textarea></div>.textarea-prepend {position: relative;}.textarea-prepend textarea {width: 300px;}.textarea-prepend::before {ba…...

编程日记 2023/11/24 7:32:27

Spring 定时任务如何到达某一指定时间点后，触发任务机制

在Spring框架中&#xff0c;可以使用Spring Task来实现定时任务。以下是使用Spring Task触发定时任务的步骤&#xff1a; 添加依赖&#xff1a;首先&#xff0c;在你的项目中添加Spring Task的依赖。如果使用Maven管理项目&#xff0c;可以在pom.xml文件中添加以下依赖项&#…...

编程日记 2023/11/24 7:31:26

PDF Reader Pro 3.0.1.0(pdf阅读器)

PDF Reader Pro是一款功能强大的PDF阅读、注释、填写表单&签名、转换、OCR、合并拆分PDF页面、编辑PDF等软件。 它支持多种颜色的高亮、下划线&#xff0c;可以按需选择&#xff0c;没有空白处可以进行注释&#xff0c;这时候便签是你最佳的选择&#xff0c;不点开时自动隐…...

编程日记 2023/11/24 7:30:25

【rust：tauri-app踩坑记录】dangerousRemoteDomainIpcAccess 不适用于IP地址，临时解决方案

找到一个临时解决方案&#xff1a; 修改依赖包的源代码 找到 C:\Users%USER_HOME%.cargo\registry\src\index.crates.io-6f17d22bba15001f\tauri-1.4.1\src\scope\ipc.rs 修改 函数 remote_access_for 将 155 行中的 matches_domain 删除掉&#xff0c;去掉校验 if matches_w…...

编程日记 2023/11/24 7:29:23

[Docker]八.Docker 容器跨主机通讯

一.跨主机通讯原理 在主机192.168.31.140上的docker0(172.17.0.0/16)中有一个容器mycentos( 172.17.0.2/16), 在主机192.168.31.81上的docker0(172.17.0.0/16)中有一个容器mycentos( 172.17.0.2/16),然后在主机192.168.31.140上ping主机192.168.31.81,发现ping不通要实现两个主…...

编程日记 2023/11/24 7:27:21

面试cast：reinterpret_cast/const_cast/static_cast/dynamic_cast

目录 1. cast 2. reinterpret_cast 3. const_cast 3.1 加上const的情况 3.2 去掉const的情况 4. static_cast 4.1 基本类型之间的转换 4.2 void指针转换为任意基本类型的指针 4.3 子类和父类之间的转换 5. dynamic_cast 5.1 RTTI(Run-time Type Identification) 1.…...

编程日记 2023/11/24 7:26:20

致远M3 反序列化RCE漏洞复现(XVE-2023-24878)

0x01 产品简介 M3移动办公是致远互联打造的一站式智能工作平台&#xff0c;提供全方位的企业移动业务管理&#xff0c;致力于构建以人为中心的智能化移动应用场景&#xff0c;促进人员工作积极性和创造力&#xff0c;提升企业效率和效能&#xff0c;是为企业量身定制的移动智慧…...

编程日记 2023/11/24 7:25:19

Ubuntu安装CUDA驱动

Ubuntu安装CUDA驱动 前言官网安装确认安装版本安装CUDA Toolkit 前言 CUDA驱动一般指CUDA Toolkit&#xff0c;可通过Nvidia官网下载安装。本文介绍安装方法。 官网 CUDA Toolkit 最新版&#xff1a;CUDA Toolkit Downloads | NVIDIA Developer CUDA Toolkit 最新版文档&…...

编程日记 2023/11/24 7:24:17

【MySQL】内连接和外连接

内连接和外连接 前言正式开始内连接外连接左外连接右外连接 前言 前一篇讲多表查询的时候讲过笛卡尔积&#xff0c;其实笛卡尔积就算一种连接&#xff0c;不过前一篇讲的时候并没有细说连接相关的内容&#xff0c;本篇就来详细说说表的连接有哪些。 本篇博客中主要用到的还是…...

编程日记 2023/11/24 7:23:16

PowerToys中文汉化终极教程：三步让微软效率神器说中文

PowerToys中文汉化终极教程&#xff1a;三步让微软效率神器说中文 【免费下载链接】PowerToys-CN PowerToys Simplified Chinese Translation 微软增强工具箱 自制汉化 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/po/PowerToys-CN 你是否曾因PowerToys的英文界面而放弃使…...

编程新知 2026/4/27 12:29:59

Bulk Crap Uninstaller：三步彻底清理Windows系统垃圾软件

Bulk Crap Uninstaller&#xff1a;三步彻底清理Windows系统垃圾软件 【免费下载链接】Bulk-Crap-Uninstaller Remove large amounts of unwanted applications quickly. 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/bu/Bulk-Crap-Uninstaller Bulk Crap Uninstaller&…...

编程新知 2026/4/27 12:23:11

超自动化运维中的自愈能力建设

在IT运维的终极愿景中&#xff0c;系统应当具备生物体般的“自愈”能力——当故障发生时&#xff0c;无需人工干预&#xff0c;便能自动诊断、修复并恢复正常。这并非科幻&#xff0c;而是超自动化运维正在实现的现实。自愈能力&#xff0c;作为超自动化皇冠上的明珠&#xff0…...

编程新知 2026/4/27 12:18:56

大语言模型混合架构：显式记录与最大熵方法优化

1. 大语言模型的学习困境与人类启发在自然语言处理领域&#xff0c;大型语言模型(LLM)已经展现出惊人的能力&#xff0c;从代码生成到创意写作&#xff0c;从技术问答到逻辑推理。然而&#xff0c;当我们把这些模型部署到真实世界的专业场景时——比如诊断一台特定型号的工业设…...

编程新知 2026/4/27 11:44:14

如何安全备份微信聊天记录？WeChatMsg让数据主权回归用户

如何安全备份微信聊天记录&#xff1f;WeChatMsg让数据主权回归用户 【免费下载链接】WeChatMsg 提取微信聊天记录&#xff0c;将其导出成HTML、Word、CSV文档永久保存&#xff0c;对聊天记录进行分析生成年度聊天报告 项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/we/WeC…...

编程新知 2026/4/27 11:06:55

从医学诊断到风控模型：DeLong检验的‘跨界’应用指南，附R语言与Stata实操对比

从医学诊断到风控模型&#xff1a;DeLong检验的‘跨界’应用指南&#xff0c;附R语言与Stata实操对比 在数据科学领域&#xff0c;经典统计方法的跨学科迁移往往能带来意想不到的突破。1988年由DeLong等人提出的ROC曲线比较方法&#xff0c;最初用于评估卵巢癌诊断模型的性能差…...

编程新知 2026/4/27 11:04:53

告别CANoe！用百元级UTA0503 LIN工具，手把手教你给MCU做本地OTA升级（附完整协议解析）

百元级LIN工具实战&#xff1a;手把手构建MCU本地OTA升级系统 在嵌入式开发领域&#xff0c;设备固件升级一直是个绕不开的痛点。传统方案要么依赖昂贵的专业工具&#xff0c;要么需要拆机烧录&#xff0c;既增加成本又影响用户体验。本文将展示如何用淘宝售价仅百元的UTA0503 …...

编程新知 2026/4/27 10:47:39

TVA时代企业IT工程师的转型之路（二十三）

前沿技术背景介绍&#xff1a;AI 智能体视觉系统&#xff08;TVA&#xff0c;Transformer-based Vision Agent&#xff09;&#xff0c;是依托Transformer架构与因式智能体所构建的新一代视觉检测技术。它区别于传统机器视觉与早期AI视觉&#xff0c;代表了工业智能化转型与视觉…...

编程新知 2026/4/27 9:22:41

Python基础：字典的键值对结构与增删改查操作

Python基础&#xff1a;字典的键值对结构与增删改查操作&#x1f4da; 本章学习目标&#xff1a;深入理解字典的键值对结构与增删改查操作的核心概念与实践方法&#xff0c;掌握关键技术要点&#xff0c;了解实际应用场景与最佳实践。本文属于《Python从入门到精通教程》Python…...

编程新知 2026/4/27 8:16:30

揭秘MCP 2026标准在农田边缘节点的适配断点：5类传感器失联根因分析及固件级修复指南

更多请点击&#xff1a; https://intelliparadigm.com 第一章&#xff1a;MCP 2026标准在农田边缘节点的适配断点全景图 MCP 2026&#xff08;Multi-layer Control Protocol v2026&#xff09;是面向农业物联网场景设计的新一代边缘协同通信协议&#xff0c;其核心目标是在资源…...

编程新知 2026/4/27 6:37:29