矩阵知识补充

正交矩阵

定义： 正交矩阵是一种满足$A^{T}A=E$的方阵
正交矩阵具有以下几个重要性质：

• A的逆等于A的转置，即$A^{-1}=A^T$
• **A的行列式的绝对值等于1，即$|det(A)|=1$
• 正交矩阵的行向量和列向量都是单位正交向量组，也就是说，它们的长度都是 1，而且两两垂直
• 正交矩阵的特征值都是模长为 1 的复数，即它们都在单位圆上。
• 正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵，即如果 A 和 B 都是正交矩阵，那么 AB 也是正交矩阵

eg:
$$\left[\begin{array}{ccccc}& 0& 1& 0& \\ & 1& 0& 0& \\ & 0& 0& 1& \end{array}\right]$$

对角矩阵

定义： 对角矩阵是一种特殊的方阵，它的非对角元素都为零，只有主对角线上的元素可能不为零
性质：
-对角矩阵的逆矩阵等于主对角线上元素的倒数

eg:
$$\left[\begin{array}{ccccc}& 1& 0& 0& \\ & 0& 2& 0& \\ & 0& 0& 3& \end{array}\right]$$

对称矩阵

定义： 特殊的方阵，它的转置矩阵与自身相等，也就是说，它的元素以主对角线为对称轴对应相等
性质：

• 对称矩阵的特征值都是实数
• 特征向量都是正交的
• 可以通过相似变换对角化
• 其逆矩阵也是对称矩阵

eg:
$$\left[\begin{array}{ccccc}& 1& 2& 3& \\ & 2& 2& 5& \\ & 3& 5& 3& \end{array}\right]$$

正定矩阵

定义： 给定一个大小为$n\times n$的实对称矩阵A，对于任意长度为n的非零向量x，有$X^{T}Ax>0$恒成立，则矩阵A是一个正定矩阵

• 其逆矩阵也是对称矩阵
  

不正定矩阵

定义： 给定一个大小为$n\times n$的实对称矩阵A，对于任意长度为n的非零向量x,有$X^{T}Ax\ge 0$恒成立，则矩阵A是一个半正定矩阵

补充知识

单位正交向量组

正交向量组是一组非零的两两正交(即内积为0)的向量构成的向量组

求行列式的绝对值