12.位运算的性质（异或的性质）

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与 & ； 或 | ； 异或 ^

异或的性质

如果 a ^ b = c 成立，那么a ^ c = b 与 b ^ c = a 均成立。即 如果有三个数，满足其中两个数的异或值等于另一个值，那么这三个数的顺序可以任意调换。

• 说明：利用这条性质，可以不使用第 3 个变量而交换两个变量的值。

异或运算可以看作 「二进制下不进位的加法」，所以常常用来解决一些和奇偶性相关的问题

求异或和问题

421. 数组中两个数的最大异或值

中等

给你一个整数数组 nums ，返回 nums[i] XOR nums[j] 的最大运算结果，其中 0 ≤ i ≤ j < n 。

示例 1：

输入：nums = [3,10,5,25,2,8]
输出：28
解释：最大运算结果是 5 XOR 25 = 28.

示例 2：

输入：nums = [14,70,53,83,49,91,36,80,92,51,66,70]
输出：127

提示：

• 1 <= nums.length <= 2 * 105
• 0 <= nums[i] <= 231 - 1

https://leetcode.cn/problems/maximum-xor-of-two-numbers-in-an-array/solutions/2511644/tu-jie-jian-ji-gao-xiao-yi-tu-miao-dong-1427d/

异或性质、假设修正

class Solution {// 把 nums数组的数转成二进制来思考，看最高位、次高位..。能不能是1?// 如果 a ^ b = max 成立，那么一定有 max ^ b = a 成立// 因此假设 max 的数位i 可以为1，然后//        问题转化为两数之和，用哈希表记录遍历结果，求max^b=a是否存在public int findMaximumXOR(int[] nums) {int max = 0;for(int x : nums) max = Math.max(max, x);// 得到为1的最高比特位int highBit = 31 - Integer.numberOfLeadingZeros(max);int ans = 0, mask = 0;Set<Integer> seen = new HashSet();for(int i = highBit; i >= 0; i--){ // 从最高比特位开始枚举seen.clear();mask |= 1 << i; // 将[hightbit,i]位置都变为1int newAns = ans | (1 << i); // 假定第 i 位可以为1for(int x : nums){x &= mask; // 保留前缀，低于 i 的比特位置为 0if(seen.contains(newAns ^ x)){ans = newAns; // 这个bit位可以时1break;}seen.add(x);}}return ans;}
}

2935. 找出强数对的最大异或值 II

困难

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 。如果一对整数 x 和 y 满足以下条件，则称其为 强数对 ：

• |x - y| <= min(x, y)

你需要从 nums 中选出两个整数，且满足：这两个整数可以形成一个强数对，并且它们的按位异或（XOR）值是在该数组所有强数对中的 最大值 。

返回数组 nums 所有可能的强数对中的 最大 异或值。

注意，你可以选择同一个整数两次来形成一个强数对。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,4,5]
输出：7
解释：数组 nums 中有 11 个强数对：(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5) 和 (5, 5) 。
这些强数对中的最大异或值是 3 XOR 4 = 7 。

示例 2：

输入：nums = [10,100]
输出：0
解释：数组 nums 中有 2 个强数对：(10, 10) 和 (100, 100) 。
这些强数对中的最大异或值是 10 XOR 10 = 0 ，数对 (100, 100) 的异或值也是 100 XOR 100 = 0 。

示例 3：

输入：nums = [500,520,2500,3000]
输出：1020
解释：数组 nums 中有 6 个强数对：(500, 500), (500, 520), (520, 520), (2500, 2500), (2500, 3000) 和 (3000, 3000) 。
这些强数对中的最大异或值是 500 XOR 520 = 1020 ；另一个异或值非零的数对是 (5, 6) ，其异或值是 2500 XOR 3000 = 636 。

提示：

• 1 <= nums.length <= 5 * 104
• 1 <= nums[i] <= 220 - 1

class Solution {public int maximumStrongPairXor(int[] nums) {Arrays.sort(nums);int highBit = 31 - Integer.numberOfLeadingZeros(nums[nums.length - 1]);int ans = 0, mask = 0;Map<Integer, Integer> mp = new HashMap<>();for (int i = highBit; i >= 0; i--) { // 从最高位开始枚举mp.clear();mask |= 1 << i;int newAns = ans | (1 << i); // 这个比特位可以是 1 吗？for (int y : nums) {int maskY = y & mask; // 低于 i 的比特位置为 0if (mp.containsKey(newAns ^ maskY) && mp.get(newAns ^ maskY) * 2 >= y) {ans = newAns; // 这个比特位可以是 1break;}mp.put(maskY, y);}}return ans;}
}

异或前缀和问题（最…回文串、串字符出现奇/偶次）

参考：一步步优化！从前缀和到前缀异或和（附题单！）https://leetcode.cn/problems/can-make-palindrome-from-substring/solution/yi-bu-bu-you-hua-cong-qian-zhui-he-dao-q-yh5p/

注意，使用两数之和方法最后会求字串的长度和个数

• 求长度：map中value存sum[i]第一次出现的位置
• 求个数：map中value存sum[i]出现的次数

1371. 每个元音包含偶数次的最长子字符串

中等

给你一个字符串 s ，请你返回满足以下条件的最长子字符串的长度：每个元音字母，即 ‘a’，‘e’，‘i’，‘o’，‘u’ ，在子字符串中都恰好出现了偶数次。

示例 1：

输入：s = "eleetminicoworoep"
输出：13
解释：最长子字符串是 "leetminicowor" ，它包含 e，i，o 各 2 个，以及 0 个 a，u 。

示例 2：

输入：s = "leetcodeisgreat"
输出：5
解释：最长子字符串是 "leetc" ，其中包含 2 个 e 。

示例 3：

输入：s = "bcbcbc"
输出：6
解释：这个示例中，字符串 "bcbcbc" 本身就是最长的，因为所有的元音 a，e，i，o，u 都出现了 0 次。

提示：

• 1 <= s.length <= 5 x 10^5
• s 只包含小写英文字母。

class Solution {public int findTheLongestSubstring(String s) {int n = s.length();// 用 bit位 标识对应字母奇偶性// sum[i] 标识 s[0:i) 的子串中每种字母出现次数的奇偶性int[] sum = new int[n+1];for(int i = 0; i < n; i++){int bit = 0;// 每个元音字母，即 'a'，'e'，'i'，'o'，'u' ，在子字符串中都恰好出现了偶数次。if(check(s.charAt(i)))bit = 1 << (s.charAt(i) - 'a');sum[i+1] = sum[i] ^ bit; }int res = 0;// 问题化为两数之和  a ^ b = 0Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();for(int i = 0; i <= n; i++){// 注意求最长串长度，map中只保存sum第一次出现位置if(map.containsKey(sum[i]))res = Math.max(res, i - map.get(sum[i]));elsemap.put(sum[i], i);}return res;}public boolean check(Character c){return c == 'a' || c == 'e' || c == 'i' || c == 'o' || c == 'u';}
}

1542. 找出最长的超赞子字符串「求长度」

困难

给你一个字符串 s 。请返回 s 中最长的 超赞子字符串 的长度。

「超赞子字符串」需满足满足下述两个条件：

• 该字符串是 s 的一个非空子字符串
• 进行任意次数的字符交换后，该字符串可以变成一个回文字符串

示例 1：

输入：s = "3242415"
输出：5
解释："24241" 是最长的超赞子字符串，交换其中的字符后，可以得到回文 "24142"

示例 2：

输入：s = "12345678"
输出：1

示例 3：

输入：s = "213123"
输出：6
解释："213123" 是最长的超赞子字符串，交换其中的字符后，可以得到回文 "231132"

示例 4：

输入：s = "00"
输出：2

提示：

• 1 <= s.length <= 10^5
• s 仅由数字组成

class Solution {/**进行任意次数的字符交换后，该字符串可以变成一个回文字符串 ==> 字符串「不同字符出现次数」为奇数的个数 <= 1*/public int longestAwesome(String s) {int n = s.length();int[] sum = new int[n+1];for(int i = 0; i < n; i++){int bit = 1 << (s.charAt(i) - '0');sum[i+1] = sum[i] ^ bit;}int res = 0;// 问题转化为两数之和 // a ^ b = 1 / 10 / 100 / 1000...Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();for(int i = 0; i <= n; i++){// 字符串「不同字符出现次数」为奇数的个数 = 0if(map.containsKey(sum[i]))res = Math.max(res, i - map.get(sum[i]));// 字符串「不同字符出现次数」为奇数的个数 = 1for(int j = 0; j < 10; j++){int target = (1 << j);// a ^ b == target ==> a = target ^ bif(map.containsKey(target ^ sum[i]))res = Math.max(res, i - map.get(target ^ sum[i]));}// 注意求最长串长度，map中只保存sum第一次出现位置if(!map.containsKey(sum[i]))map.put(sum[i], i);}return res;}
}

1915. 最美子字符串的数目「求个数」

中等

如果某个字符串中 至多一个 字母出现 奇数 次，则称其为 最美 字符串。

• 例如，"ccjjc" 和 "abab" 都是最美字符串，但 "ab" 不是。

给你一个字符串 word ，该字符串由前十个小写英文字母组成（'a' 到 'j'）。请你返回 word 中 最美非空子字符串 的数目*。如果同样的子字符串在 word 中出现多次，那么应当对 每次出现 分别计数。*

子字符串 是字符串中的一个连续字符序列。

示例 1：

输入：word = "aba"
输出：4
解释：4 个最美子字符串如下所示：
- "aba" -> "a"
- "aba" -> "b"
- "aba" -> "a"
- "aba" -> "aba"

示例 2：

输入：word = "aabb"
输出：9
解释：9 个最美子字符串如下所示：
- "aabb" -> "a"
- "aabb" -> "aa"
- "aabb" -> "aab"
- "aabb" -> "aabb"
- "aabb" -> "a"
- "aabb" -> "abb"
- "aabb" -> "b"
- "aabb" -> "bb"
- "aabb" -> "b"

示例 3：

输入：word = "he"
输出：2
解释：2 个最美子字符串如下所示：
- "he" -> "h"
- "he" -> "e"

提示：

• 1 <= word.length <= 105
• word 由从 'a' 到 'j' 的小写英文字母组成

class Solution {public long wonderfulSubstrings(String word) {int n = word.length();int[] sum = new int[n+1];for(int i = 0; i < n; i++){int bit = (1 << (word.charAt(i) - 'a'));sum[i+1] = sum[i] ^ bit;}long res = 0;Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();// 某个字符串中 至多一个 字母出现 奇数 次for(int i = 0; i <= n; i++){if(map.containsKey(sum[i]))res += map.get(sum[i]);for(int j = 0; j < 11; j++){int target = (1 << j);if(map.containsKey(target ^ sum[i]))res += map.get(target ^ sum[i]);}map.merge(sum[i], 1, Integer::sum);}return res;}
}