第一类曲线积分@对弧长的曲线积分

abstract

• 在积分学中,积分范围先是从数轴上(直线)的一个区间的情形,推广到平面或看空间内的一个闭区域的情形
• 不仅如此,积分概念可以推广到积分范围为一段曲线弧或一片曲面的情形,分别称为曲线积分和曲面积分

对弧长的曲线积分

曲线形构件的质量

• 对弧长的曲线积分源自某些问题的研究,其中最经典的一个问题模型是曲线形构建的质量问题
  • 在讨论定积分和二重积分时,分别对应曲边梯形面积问题和曲顶柱体的体积问题
  • 而理解曲线积分时,用类似理解定积分时的几何的角度就不容易,也不太合适,而从物理意义角度就比较合适
• 通过对这个问题问题模型的抽象,定义出弧长的曲线积分(第一类曲线积分)

第一类曲线积分

• 定义:设$L$为$xOy$面内的一条光滑曲线弧,函数$f(x,y)$在$L$上有界,在$L$上任意插入一系列点$M_1,\cdots ,M_{n-1}$,把$L$分成$n$个小段
• 设第$i$小段的长度为$\Delta s_i$,又$({\xi }_i,{\eta }_i)$为第$i$个小段上任意取定的,作乘积$f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$(0),$(i=1,2,\cdots ,n)$,并作和式${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$(1)
• 若当各个小弧段的长度的最大值$\lambda \to 0$时,式(1)的极限总存在,切曲线弧$L$的分法以及点$({\xi }_i,{\eta }_i)$的取法无关,则称此极限为函数$f(x,y)$在曲线弧$L$上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记为${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$,即${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$(3)
• 其中$f(x,y)$称为被积函数,$L$称为积分弧段(积分弧段类似于定积分的积分区间或重积分的积分区域)
  • 而弧段元素$\Delta s_i$或$\mathrm{d}s$类似于定积分${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$中的区间元素$\mathrm{d}x$
• Note:$f(x,y)$和$L$的方程是相对独立的,最简单的情形是
  • $f(x,y)$为常数
  • $L$为直线方程

曲线积分存在性

• 当$f(x,y)$在光滑曲线弧$L$上连续时,对弧长的曲线积分${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$总是存在的

  • 在讨论曲线积分时,我们总假定$f(x,y)$在$L$上是连续的

• 函数在曲线上连续表示?(TODO)

利用曲线积分的定义描述曲线形构件质量问题

• 根据上述定义,曲线形构件的质量$m$当线密度$\mu (x,y)$在$L$上连续时,就有等于$\mu (x,y)$对弧长的曲线积分,即$m={\int }_L\mu (x,y)\mathrm{d}s$(4)

推广

• 上述曲线积分的定义是平面曲线积分,可以类似地推广到积分弧段为空间曲线$\Gamma$的情形,即函数$f(x,y,z)$在曲线弧$\Gamma$上对弧长的曲线积分${\int }_{\Gamma }f(x,y,z)\mathrm{d}s$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\xi }_i)\Delta s_i$(5)
  • $f(x,y,z)$可以表示空间中坐标为$x,y,z$的点处的密度(点附近小区域密度的代表值)

曲线积分可加性

• 若$L$是分段光滑的(有限个点不光滑),则规定函数在$L$上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分之和(空间曲线$\Gamma$也类似)
• 例如设$L$可分成两段光滑曲线弧$L_1$以及$L_2$,记为$L=L_1+L_2$),就规定${\int }_{L_1+L_2}f(x,y)\mathrm{d}s$=${\int }_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s$+${\int }_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s$(6)

闭曲线积分

• 若$L$是闭曲线,则函数$f(x,y)$在闭曲线$L$上对弧长的曲线积分记为$\oint f(x,y)\mathrm{d}s$

曲线积分性质

• 由对弧长的曲线积分的定义可知,其具有如下性质(这些性质和定积分类似)
• 线性性
  • ${\int }_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\mathrm{d}s$=$\alpha {\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$+$\beta {\int }_{L}g(x,y)\mathrm{d}s$(7)
• 可加性
  • 若积分弧段$L$可分为两段光滑曲线弧$L_1,L_2$,则
  • ${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$=${\int }_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s$+${\int }_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s$(8)
• 设$L$上$f(x,y)⩽g(x,y)$,则
  • ${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s⩽{\int }_{L}g(x,y)\mathrm{d}s$(9)
  • $|{\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s|⩽{\int }_L|f(x,y)|\mathrm{d}s$(10)
    • 因为$-|f(x,y)|⩽f(x,y)⩽|f(x,y)|$
    • $-{\int }_L|f(x,y)|\mathrm{d}s⩽{\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s⩽{\int }_L|f(x,y)|\mathrm{d}s$
    • 改写成绝对值不等式即得证不等式

曲线积分的计算方法

• 定理:设$f(x,y)$在曲线弧$L$上有定义且连续**,$L$的参数方程**为$x=\varphi (t)$;$y=\psi (t)$,$t\in [\alpha ,\beta ]$
  • 若$\varphi (t),\psi (t)$在$[\alpha ,\beta ]$上具有一阶连续导数,且${\varphi }^{\prime 2}+{\psi }^{\prime 2}(t)\ne 0$,则曲线积分${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$存在,且${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$=${\int }_{\alpha }^{\beta }[f(\varphi (t),\psi (t))]\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$,$(\alpha <\beta )$(11)

证明(部分推导)

• 利用弧长公式,我们可以将第一类曲线积分化为定积分计算

  • 弧长公式我们在定积分的应用中讨论过,$s$=${\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$(12)
  • 令$r(t)=\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}$(12-1)

• 假定当参数$t$由$\alpha$变至$\beta$时,曲线弧$L$上的点$M(x,y)$依点$A$运动至$B$,该过程描出曲线弧$L$

• 在$L$上取一列点:$A=M_0,M_1,\cdots ,M_n=B$

• 设它们对应于一列单调增加的参数值$\alpha =t_0<t_1<\cdots <t_n=\beta$(这表明$(\alpha <\beta )$)

• 根据对弧长的曲线积分的定义:${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$(即式(3))

  • 设点$({\xi }_i,{\eta }_i)$对应于参数值${\tau }_i$,即${\xi }_i=\varphi ({\tau }_i)$,${\eta }_i=\varphi ({\tau }_i)$(13),这里${\tau }_i\in [t_{i-1},t_i]$,
  • 记$t_{i-1}\to t_i$在$L$上对应的弧长为$\Delta s_i$,使用弧长公式(12),有$\Delta s_i$=${\int }_{t_{i-1}}^{t_i}\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$(14)
  • 由积分中值定理:$\Delta s_i$=$\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}({\tau }_i^{\prime })+{\psi }^{\prime 2}({\tau }_i^{\prime })}\cdot \Delta t_i$(15);其中$\Delta t_i$=$t_i-t_{i-1}$,${\tau }_i^{\prime }\in [t_{i-1},t_i]$于是
  • Note:这里${\tau }_i,{\tau }_i^{\prime }$有联系(都是$[t_{i-1},t_i]$区间上的点),但并不相同
  • 将式(13),(15)代入到式(3),于是${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f[\varphi ({\tau }_i),\psi ({\tau }_i)]\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}({\tau }_i^{\prime })+{\psi }^{\prime 2}({\tau }_i^{\prime })}\Delta t_i$(16)
  • 由于函数(12-1)在闭区间$[\alpha ,\beta ]$上连续,可以把上式中$r_i^{\prime }$替换为$r_i$,从而式(16)写作式(11)
    • 这一步要用到(12-1)函数在$[\alpha ,\beta ]$上的一致连续性

• 式(11)等号右端是一个定积分式子,因为其被积函数在$[\alpha ,\beta ]$上连续,所以这个定积分是存在的,因此式(11)等号左端${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$也存在;并且可以有式(11)计算结果

小结

• 公式(11)表明,计算对弧长的曲线积分$f_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$时,只要将$x,y,\mathrm{d}s$分别替换为:$\varphi (t),\psi (t),\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$
• 然后做$[\alpha ,\beta ]$上的定积分即可$(\alpha <\beta )$

曲线弧显函数形式方程下的曲线积分公式

• 若曲线弧$L$由方程$y=\psi (x)$(17),$(x\in [x_0,X])$给出,则可以把这种情况看作特殊的参数方程:(参数方程的简单情形)
  • $x=t$,$y=\psi (t)$,$t\in [x_0,X]$(17-1)
• 将其代入公式(11),得${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$=${\int }_{x_0}^{X}f(x,\psi (x))\sqrt{1+{\psi }^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x$,$(x_0<X)$(18)
• 类似地,若曲线弧$L$由方程$x=\varphi (y)$(19),$(y\in [y_0,Y])$给出
  • $y=t$,$x=\varphi (t)$(19-1),$(y\in [y_0,Y])$
• 则${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$=${\int }_{y_0}^{Y}f(\varphi (y),y)\sqrt{1+{\varphi }^{\prime 2}(y)}\mathrm{d}y$,$y_0<Y$(20)

推广

• 若空间曲线$\Gamma$由参数方程$x=\varphi (t)$,$y=\psi (t)$,$z=\omega t$,$t\in [\alpha ,\beta ]$给出的情形,这时$f_{L}f(x,y,z)\mathrm{d}s$=${\int }_{\alpha }^{\beta }[f(\varphi (t),\psi (t),\omega (t))]\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)+{\omega }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$$(\alpha <\beta )$

例

• 计算${\int }_L\sqrt{y}\mathrm{d}s$其中$L$时抛物线$y=x^2$上点$O(0,0)$与$B(1,1)$之间的一段弧
  • 曲线$L$表示为$x$为参数的参数方程:$y=x^2$,$x\in [0,1]$
  • ${\int }_L\sqrt{y}\mathrm{d}s$=${\int }_0^1\sqrt{x^2}\sqrt{1+(x^2{)}^{\prime 2}}\mathrm{d}x$=${\int }_0^{1}x\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}x$
    • 第一换元法:$\frac{1}{2}{\int }_0^1\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}{x}^2$=$\frac{1}{8}{\int }_0^1\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}(4x^2+1)$=$\frac{1}{8}\frac{2}{3}(1+4x^2{)}^{\frac{3}{2}}{|}_0^1$=$\frac{1}{12}[(1+4{)}^{\frac{3}{2}}-1]$=$\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)$

例

• 若$L$:$x=R\cos \theta$,$y=R\sin \theta$,$\theta \in [-\alpha ,\alpha ]$

• $I$=${\int }_L{y}^2\mathrm{d}s$=${\int }_{-\alpha }^{\alpha }{R}^2{\sin }^2\theta \sqrt{(-R\sin \theta {)}^2+(R\cos \theta {)}^2}\mathrm{d}\theta$

  • =$R^3{\int }_{-a}^a{\sin }^2\theta \mathrm{d}\theta$=$\frac{R^3}{2}[\theta -\frac{\sin 2\theta }{2}{]}_{-\alpha }^{\alpha }$=$\frac{R^3}{2}(2\alpha -\sin 2\alpha )$=$R^3(\alpha -\sin \alpha \cos \alpha )$

例

• 若$L$:$x=a\cos t$,$y=a\sin t$,$z=kt$,$t\in [0,2\pi ]$,求$I$=${\int }_{\Gamma }(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}s$
  • $I$=${\int }_{\Gamma }(a^2{\cos }^{2}t+a^2{\sin }^{2}t+k^2{t}^2)\sqrt{(-a\sin t{)}^2+(a\cos t{)}^2+k^2}\mathrm{d}t$
  • =${\int }_0^{2\pi }(a^2+k^2{t}^2)\sqrt{a^2+k^2}\mathrm{d}t$=$\sqrt{a^2+k^2}[a^{2}t+\frac{k^2}{3}{t}^3{]}_0^{2\pi }$
    • 提取与$t$无关的因式$\sqrt{a^2+k^2}$到积分号前
  • =$\sqrt{a^2+k^2}[2a^2\pi +\frac{8}{3}{k}^2{\pi }^2]$
  • =$\frac{2\pi }{3}\sqrt{a^2+k^2}(3a^2+4{\pi }^2{k}^2)$