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索莫菲模型的一些理解 Smomerfeld Model

news 2025/12/15 14:57:24

如何解释传统热容算出来的数值与量子模型下的区别？

$CFE \ model \ predicts-> C_v =\frac{3}{2}R\\ \ \ experiments \ show -> C_v=10^{-4}RT$

因为只有费米能附近的电子才能够进行移动，这个是问题的差别所在

我们下面就来介绍如何求费米能（费米能的计算）

既然费米能附近的电子很重要，那么附近的电子有多少很重要

我们需要波矢的分布和态密度

我们知道了

$E=\frac{h^2 k^2}{2m}=\frac{h^2}{2m}(k_x^2+k_y^2+k_z^2)$

$\vec k=k_x \vec i +k_y \vec j+k_z \vec l$

$k_x=\frac{2 \pi}{L} n_x,k_y=\frac{2 \pi}{L} n_y,k_z=\frac{2 \pi}{L} n_z$

$E=(n_x^2+n_y^2+n_z^2)E_0 =n^2 E_0,E_0=\frac{\pi^2 h^2}{2 m L^2}$

如果落在一个球面上都具有相同的能量，K空间存在一个等能面

我们求解薛定谔方程的时候能量时量子化的

费米能在k空间的形状是一个球面，费米球的表面我们称之为费米面

费米球的半径称为费米波矢 $E_F=\frac{(hk_F)^2}{2m}$

我们把

$\rho (k)*V_{Fermi sphere}=N_{k}$

$\rho(k)=\frac{V}{8 \pi^3}$

$V_{F}\cdot \rho(k)=(\frac{4 \pi k_F^3}{3})(\frac{V}{8 \pi^3})=\frac{k_F^3}{6 \pi^2}V$

$Number \ of \ e^{-} N=2 \cdot \frac{k_F^3}{6 \pi^2}V$

$Density \ of \ e^{-} \ n=\frac{N}{V}=\frac{k_F^3}{3 \pi^2}$

$k_F = (3 \pi^2 n)^{\frac{1}{3}}$

$E_{F}^{0}=\frac{(\hbar k_F)^2}{2m}= \frac{ \hbar^2}{2m}(3 \pi^2 n)^{\frac{2}{3}}$

n是自由电子密度，是一个本征量

我们下面找到费米能附近的电子数量，也就是电子随能量的分布情况

DOS:单位频率间隔独立格波的数目

在自由电子理论里面定义有所不同

DOS:单位能能量间隔电子的能态数量，用g(E)来表示

$g(E)=\frac{dZ}{dE}$

在半径k里面总的能态数量

$Z(E)=2 \cdot \rho(k) \cdot \frac{4}{3} \pi k^3=\frac{Vk^3}{3 \pi^2}$

$g(E)=\frac{dZ}{dE}=\frac{dZ}{dk}\cdot \frac{dk}{dE}$

$g(E)=\frac{dZ}{dk}\cdot \frac{dk}{dE}=\frac{V}{ 2 \pi^2}\cdot \frac{2m}{\hbar^2}^{\frac{3}{2}} \cdot E^{\frac{1}{2}}$

$g(E)= C \cdot E^{\frac{1}{2}}$

电子能量分布函数

N (E) 电子能量分布函数

$N(E)=g(E) f(E)$

g(E)是电子能态的数量，f(E)是占据该能态的概率

$N=\int_{0}^{+\infty}g(E)f(E)dE$

T=0k的时候

$E_t=\int E dN=\int E \cdot g(E) \cdot f(E)\cdot dE$

$=\frac{2C}{5}(E_F^0)^{\frac{5}{2}}$

平均能量 $\overline E = \frac{3}{5} E_{F}^{0}$

温度不为0k的时候，情况会变得稍微复杂一些

我们可以把前面的称为零点能，随着温度的升高，电子气能量的增加都体现在后面的因子上面了

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