归并排序例题——逆序对的数量

做道简单一点的题巩固一下

归并排序实现步骤
将整个区间 [l, r] 划分为 [l, mid] 和 [mid+1, r]。
递归排序 [l, mid] 和 [mid+1, r]。
将左右两个有序序列合并为一个有序序列。

题目描述

给定一个长度为 n 的整数数列，请计算数列中的逆序对的数量。

逆序对的定义如下：对于数列的第 i 个和第 j 个元素，如果满足 i<j 且 a[i]>a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

输入格式
输入共两行。
第一行包含整数 n，表示数列的长度。
第二行包含 n 个整数，表示整个数列。

输出格式
输出一个整数，表示逆序对的个数。

数据范围
1≤n≤100000
数列中的元素的取值范围 [1,1e9]。

输入样例
6
2 3 4 5 6 1

输出样例
5

具体实现
实现思路：
可以将所有的逆序对整体分为3大类

两个数同时出现在左半边（红色）；
两个数同时出现在右半边（绿色）；
一个数在左半边，一个数在右半边（黄色）。

因此，我们在归并排序的同时便要记录逆序对的个数。

红色情况时逆序对数量：merge_sort(l,mid);
绿色情况时逆序对数量：merge_sort(mid+1,r);
黄色情况时逆序对数量：先将左右两边分别变为有序序列，然后双指针进行比较，先选取右边序列当中第一个元素，判断左边序列当中有几个元素大于他，便有几个逆序对（即分别选取右边序列中的每一个元素，然后分别遍历左边序列当中的每个元素，进行比较判断，最后累加起来）。

代码注解：

n的最大值为100000，我们计算最坏情况，即数列时降序排列，就一共有 n(n-1)/2 个逆序对，即 5*1e9 个逆序对，可能会有大于 int 值的情况，因此使用 long long 进行存储。
因为左右两个均为有序数列，所有当左边序列第 i 个元素大于右边序列第 j 个元素的时候，左边序列 [i,mid] 都严格大于右边序列第 j 个元素，即 mid-i+1 个逆序对，就是我们归并排序归并的过程，所以每当我们输出一个 q[i]＞q[j] 的情况，便在逆序对个数上加一个 mid-i+1 。
要注意 merge_sort 的返回值类型变为 long long ，否则会造成数据过多时无法AC。

实现代码
 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
const int N=100010;
int n;
int q[N],temp[N];
ll merge_sort(int q[],int l,int r)
{if(l>=r){return 0;}else{int mid=l+r>>1;ll res=merge_sort(q,l,mid)+merge_sort(q,mid+1,r);int k=0,i=l,j=mid+1;while(i<=mid&&j<=r){if(q[i]<=q[j]){temp[k]=q[i];k++;i++;}else{temp[k]=q[j];k++;j++;res+=mid-i+1;}}while(i<=mid){temp[k]=q[i];k++;i++;}while(j<=r){temp[k]=q[j];k++;j++;}for(i=l,j=0;i<=r;i++,j++){q[i]=temp[j];}return res;}
}
int main()
{cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){cin>>q[i];}cout<< merge_sort(q,0,n-1)<<endl;system("pause");return 0;
}