韦达定理用处多

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前言

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达（F. Vieta，1540—1603）最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。有趣的是，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

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一、一元二次方程中根和系数之间的关系

韦达定理指出了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里只谈一元二次方程中根和系数之间的关系。

对于一元二次方程
$$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0且△=b^2-4ac>0)$$的两个根为$x_1，x_2$ 有

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$
$$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$
$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}$$

二、韦达定理的数学推导和作用

1. 韦达定理的数学推导

由一元二次方程求根公式知：
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
则有：
$$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a}$$
$$x_1\cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\times \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a}$$

2. 韦达定理的作用

不论是解方程，还是研究方程的性质，韦达定理都很有用。
一般来说，韦达定理主要有以下四个方面的用途。
(1）利用韦达定理可以观察出一些一元二次方程的根；
(2）已知方程的两根之间的某种关系，可以求出方程的系数来；
(3）已知二次方程，求它的两个根的齐次幂的和；
(4）已知二次方程，求作一个新的二次方程，使得两个方程的根满足某种关系。

三、韦达定理的应用举例

1. 解题示例1

对于方程
$$x^2-(m-1)x+m-7=0$$
已知下列条件之一，求m的值。
（1）有一个根为0；
（2）两根互为倒数；
（3）两根互为相反数。

解：
（1）已知“有一个根为0”，不妨设$x_1=0$。由韦达定理可知
$$x_1\cdot x_2=m-7$$
$$\because x_1=0$$
$$\therefore m-7=0,m=7$$

（2）已知“两根互为倒数”，必有$x_1=\frac{1}{x_2}$。由韦达定理可知
$$x_1\cdot x_2=m-7$$
$$\because x_1\cdot x_2=x_1\cdot \frac{1}{x_1}=1$$
$$\therefore m-7=1,m=8$$

（3）已知“两根互为相反数”，必有$x_1=-x_2$。由韦达定理可知
$$x_1+x_2=m-1$$
$$\because x_1+x_2=0$$
$$\therefore m-1=0,m=1$$

2. 解题示例2

已知方程$x^2+2x-18=0$的两根为$\alpha ,\beta$。
（1）写出以$2\alpha +3\beta$，$2\beta +3\alpha$为两根的方程；
（2）写出以$\alpha +\frac{2}{\beta }$，$\beta +\frac{2}{\alpha }$为两根的方程。

解：
（1）由韦达定理得
$$\alpha +\beta =-2，\alpha \cdot \beta =-18$$
$$\because (2\alpha +3\beta )+(2\beta +3\alpha )=5(\alpha +\beta )=5\times (-2)=-10$$
又$$\because (2\alpha +3\beta )\cdot (2\beta +3\alpha )$$
$$=6{\alpha }^2+13\alpha \beta +6{\beta }^2$$
$$=6({\alpha }^2+{\beta }^2)+13\times (-18)$$
$$=6({\alpha }^2+{\beta }^2)-234$$
而$${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$$
$$=(-2{)}^2-2\times (-18)=40$$
$$\therefore (2\alpha +3\beta )\cdot (2\beta +3\alpha )$$
$$=6\times 40-234=6$$
$$\therefore 所求方程为x^2+10x+6=0$$

（1）由韦达定理得
$$(\alpha +\frac{2}{\beta })+(\beta +\frac{2}{\alpha })$$
$$=\alpha +\beta +2\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }$$
$$=-2+2\times \frac{-2}{-18}=-\frac{16}{9}$$
又
$$(\alpha +\frac{2}{\beta })\cdot (\beta +\frac{2}{\alpha })$$
$$=\alpha \beta +\frac{4}{\alpha \beta }+4=-18+\frac{4}{-18}+4=-\frac{128}{9}$$
$$\therefore 所求方程为9x^2+16x-128=0$$

3. 解题示例3

已知方程$x^2-x-4=0$，不许解方程，求$x_1^2+x_2^2$和$\frac{1}{x_1^3}+\frac{1}{x_2^3}$的值。 (1956年北京市中学生数学竞赛试题)
解：
由韦达定理可知
$$x_1+x_2=1，x_1\cdot x_2=-4$$
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=1^2-2\times (-4)=9$$

$$\frac{1}{x_1^3}+\frac{1}{x_2^3}$$
$$=\frac{x_1^3+x_2^3}{x_1^3\cdot x_2^3}=\frac{(x_1+x_2)(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2)}{(x_1\cdot x_2{)}^3}$$
$$=\frac{(x_1+x_2)[(x_1^2+x_2^2)-x_1{x}_2]}{(x_1\cdot x_2{)}^3}$$
$$\frac{1\times [9-(-4)]}{(-4{)}^3}=-\frac{13}{64}$$

4. 解题示例4

已知$p+q=198$，求方程$x^2+px+q=0$的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解：设方程的两整数根为$x_1,x_2$，不妨设$x_1\le x_2$. 由韦达定理，得

$$x_1+x_2=-p，x_1\cdot x_2=q$$

于是$$p+q=x_1\cdot x_2-(x_1+x_2)=198$$

即$$x_1\cdot x_2-x_1-x_2+1=199$$

∴运用提取公因式法$$(x_1-1)\cdot (x_2-1)=199$$

注意到$(x_1-1),(x_2-1)$均为整数，

解得$$x_1=2，x_2=200；x_1=-198，x_2=0$$

5. 解题示例5

已知关于$x$的方程$x^2-(12-m)x+m-1=0$的两个根都是正整数，求$m$的值.

解：设方程的两个正整数根为$x_1,x_2$，且不妨设$x_1\le x_2$.由韦达定理得

$$x_1+x_2=12-m，x_1\cdot x_2=m-1$$

于是$$x_1\cdot x_2+x_1+x_2=11$$

即$$(x_1+1)(x_2+1)=12$$

∵$x_1,x_2$为正整数，

解得$$x_1=1，x_2=5；x_1=2，x_2=3$$

故有$$m=6，或m=7.$$

6. 解题示例6

求实数$k$，使得方程$k{x}^2+(k+1)x+(k-1)=0$的根都是整数.

解：若$k=0$，得$x=1$，即$k=0$符合要求.
若$k\ne 0$，设二次方程的两个整数根为$x_1,x_2$，且$x_1\le x_2$，由韦达定理得
$$x_1+x_2=-\frac{k+1}{k}，x_1\cdot x_2=\frac{k-1}{k}$$
$$\therefore x_1\cdot x_2-x_1-x_2=\frac{k-1}{k}-(-\frac{k+1}{k})=2$$

$$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=3$$

因为$x_1-1,x_2-1$均为整数，所以有

$$x_1=2，x_2=4；x_1=-2，x_2=0$$

所以$$k=1，或k=-\frac{1}{7}$$

7. 解题示例7

已知二次函数$y=-x^2+px+q$的图像与$x$轴交于$(\alpha ，0)、(\beta ，0)$两点，且$\alpha >1>\beta$，求证：$p+q>1$. (1997年四川省初中数学竞赛试题)

证明：由题意，可知方程$-x^2+px+q=0$，即$x^2-px-q=0$的两根为$\alpha ,\beta$.

由韦达定理得$$\alpha +\beta =p，\alpha \beta =-q$$

于是$$p+q=\alpha +\beta -\alpha \beta =-(\alpha \beta -\alpha -\beta +1)+1$$

因为$\alpha >1>\beta$，故

$$p+q=-(\alpha -1)(\beta -1)+1>1$$

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总结

法国数学家韦达（F. Vieta，1540—1603）第一次有意识地使用系统的代数字母与符号，以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量，推进了方程论的发展，使代数成为一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛，被称为“代数符号之父”，在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在的特殊关系。 由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。