运筹学经典问题（八）：CVRP和VRP-TW

问题描述

给定一个图，图上的点代表客户，边代表客户之间的路线，边的权重代表客户之间的距离，点上的数字代表每个用户的需求量。

数学符号表示如下：

本文讨论的问题背景：

• 用户需求已知，且被一辆车满足（不要拆开）；
• 有$m$辆车，且有相同的最大载量$L$；
• 路网络是对称的（往返距离一样，不考虑上下坡之类的问题）；
• 要么取货要么送货；
• 1个仓库，而且车的路线$T$要是闭环的（最后要回到仓库）；
• 只考虑1个规划周期；
• 目标是最小化车辆的行驶距离；
• 点0代表仓库。

问题建模

决策变量

数学建模

疑问：这种建模方式怎么知道每辆车的路线？
会有图上的哪些边被选中，形成$m$个环，就知道啦！

目标函数：最小化行驶距离

$max{\sum }_{i,j\in V,i\ne j}{x}_{ij}\ast c_{ij}$

约束1：车辆从每个客户出发一次

∑ j ∈ V , i ≠ j x i j = 1 , ∀ i ∈ V − { 0 } \sum_{j \in V, i \neq j}x_{ij} = 1, \forall i \in V-\{0\} ∑j∈V,i=j​xij​=1,∀i∈V−{0}

约束2：车辆进入每个客户一次

∑ j ∈ V , i ≠ j x j i = 1 , ∀ i ∈ V − { 0 } \sum_{j \in V, i \neq j}x_{ji} = 1, \forall i \in V-\{0\} ∑j∈V,i=j​xji​=1,∀i∈V−{0}

约束3：最多用$m$辆车

∑ j ∈ V − { 0 } x 0 j ≤ m \sum_{j \in V-\{0\}}x_{0j} \leq m ∑j∈V−{0}​x0j​≤m

如果只是上面的模型，可能会出现下图这种解，右下角这个环没有包含仓库！因此，我们需要一个约束去消除这种不包含仓库的子环。此外，上面的约束也没有约束车辆的容量限制！这也是VRP建模的一个略难的约束。

基于容量的消除子环的约束 （load-based SECs）

学术上称为Sub-tour-elimination constraints (SECs)，该约束需要保证：

1. 每个环路不超过车辆最大容量；
2. 每个环路都包含仓库。

新引入一个变量：
$u_i$： 假设我们的问题是车辆去客户那里取货，$u_i$表示车辆到达客户点$i$时的载量，$\forall i\in V$；

因此有如下约束：

如果我们选择了$(i,j)$这条连边，那么车辆到达客户$i$时的容量，加上用户$i$寄货的重量，要为车辆到达客户$j$时的容量。逻辑上是相等的，但是我理解是为了刻画这个等式的成立是基于$(i,j)$这条连边被选择，所以描述成了下面的$\le$的形式。

$u_i+b_i\le u_j+(1-x_{ij})L,\forall i,j\in V-0,i\ne j$

但是这个约束并没有刻画车辆的容量限制？

应该还要加一个：
$u_i\le L，\forall i\in V$

CVRP完整的数学模型

加上时间窗限制的CVRP

假设某些客户只想在特定时间段被服务，那么在上述问题的基础上，我们需要引入如下新的常量定义：

同时，我们需要引入一个新的决策变量：
$a_i$：到达客户$i$时的时间，$\forall i\in V$

新增的约束包括：

1. 定义到达第一个客户的时间：

$t_{0j}{x}_{ij}\le a_j,\forall j\in V$

2. 约束两个连续访问的用户的时间：访问用户$i$的时间+用户$i$被服务的时间+从$i$到$j$的形式时间 = 访问用户$j$的时间

$a_i+s_i+t_{ij}\le a_j+(1-x_{ij})T，\forall i,j\in V-0，i\ne j$

3. 约束每个用户被访问的时间在指定时间窗内：
$w_i^s\le a_i,\forall i\in V-0$
$a_i+s_i\le w_i^e,\forall j\in V-0$