LeetCode-1143. 最长公共子序列【字符串 动态规划】

题目描述：

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：

输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace”
输出：3
解释：最长公共子序列是 “ace” ，它的长度为 3 。
示例 2：

输入：text1 = “abc”, text2 = “abc”
输出：3
解释：最长公共子序列是 “abc” ，它的长度为 3 。
示例 3：

输入：text1 = “abc”, text2 = “def”
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：

1 <= text1.length, text2.length <= 1000
text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

解题思路一：动规五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

有同学会问：为什么要定义长度为[0, i - 1]的字符串text1，定义为长度为[0, i]的字符串text1不香么？

这样定义是为了后面代码实现方便，如果非要定义为长度为[0, i]的字符串text1也可以，我在 动态规划：718. 最长重复子数组 (opens new window)中的「拓展」里 详细讲解了区别所在，其实就是简化了dp数组第一行和第一列的初始化逻辑。

2. 确定递推公式
   主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。

即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

3. dp数组如何初始化
   先看看dp[i][0]应该是多少呢？

test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;

同理dp[0][j]也是0。

其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

4. 确定遍历顺序
   从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：
   那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

5. 举例推导dp数组
   以输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace” 为例，dp状态如图：
   
   最后红框dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果

class Solution:def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:# 创建一个二维数组 dp，用于存储最长公共子序列的长度dp = [[0] * (len(text2) + 1) for _ in range(len(text1) + 1)]# 遍历 text1 和 text2，填充 dp 数组for i in range(1, len(text1) + 1):for j in range(1, len(text2) + 1):if text1[i - 1] == text2[j - 1]:# 如果 text1[i-1] 和 text2[j-1] 相等，则当前位置的最长公共子序列长度为左上角位置的值加一dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1else:# 如果 text1[i-1] 和 text2[j-1] 不相等，则当前位置的最长公共子序列长度为上方或左方的较大值dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])# 返回最长公共子序列的长度return dp[len(text1)][len(text2)]# 同意
class Solution:def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:m, n = len(text1), len(text2)dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]for i in range(1, m+1):for j in range(1, n+1):if text1[i-1] != text2[j-1]:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])else:dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1return dp[-1][-1]

时间复杂度：O(nm)
空间复杂度：O(nm)

解题思路二：1维DP

class Solution:def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:m, n = len(text1), len(text2)dp = [0] * (n + 1)  # 初始化一维DP数组for i in range(1, m + 1):prev = 0  # 保存上一个位置的最长公共子序列长度for j in range(1, n + 1):curr = dp[j]  # 保存当前位置的最长公共子序列长度if text1[i - 1] == text2[j - 1]:# 如果当前字符相等，则最长公共子序列长度加一dp[j] = prev + 1else:# 如果当前字符不相等，则选择保留前一个位置的最长公共子序列长度中的较大值dp[j] = max(dp[j], dp[j - 1])prev = curr  # 更新上一个位置的最长公共子序列长度return dp[n]  # 返回最后一个位置的最长公共子序列长度作为结果

时间复杂度：O(nm)
空间复杂度：O(n)

解题思路三：0

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)