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MySQL-索引

索引介绍


索引是对数据库表中一列或者多列的值进行排序的一种结构,使用索引可提高数据库中特定数据的查询速度。

索引是一个单独的、存储在磁盘上的数据库结构,它们包含着对数据表里所有记录的引用指针。使用索引用于快速找出在某个或多个列中有一特定值得行,所有MySQL列类型都可以被索引,对相关列使用索引是提高查询操作速度的最佳途径。

索引是在存储引擎中实现的,因此,每种存储引擎的索引都不一定完全相同,并且每种存储引擎也不一定支持索引类型。

根据存储引擎定义每个表的最大索引数和最大索引长度。所有存储引擎支持每个表至少16个索引,总索引长度至少为256字节。 MyISAM ,InnoDB支持btree索引Memory 支持 btree和hash索引

索引的优势

  1. 加快查询速度

  1. 创建唯一索引来保证数据表中数据的唯一性

  1. 实现数据的完整性,加速表和表之间的连接

  1. 减少分组和排序的时间

增加索引

增加索引也有许多不利,主要表现在如下几个方面:

  1. 创建索引和维护索引要耗费时间,并且随着数据量的增加所耗费的时间也会增加。

  1. 索引需要占磁盘空间,除了数据表占数据空间之外,每一个索引还要占一定的物理空间,如果有大量的索引,索引文件可能比数据文件更快达到最大文件尺寸。

  1. 当对表中的数据进行增加、删除和修改的时候,索引也要动态地维护,这样就降低了数据的维护速度。

索引的分类

  1. 唯一索引和普通索引 普通索引是MySQL中的基本索引类型,允许在定义索引的列中插入重复值和空值。唯一索引,索引列的值必须唯一,但允许有空值。如果是组合索引,则列值的组合必须唯一。主键索引是一种特殊的唯一索引,不允许有空值。

  1. 单列索引和组合索引 单列索引即一个索引只包含单个列,一个表可以有多个单列索引。 组合索引指在表的多个字段组合上创建的索引。只有在查询条件中使用了这些字段的左边字段时,索引才会被使用。使用组合索引时遵循最左前缀集合。

  1. 全文索引 fulltext 全文索引类型为FULLTEXT,在定义索引的列上支持值得全文查找,允许在这些索引列中插入重复值和空值。全文索引可以在CHAR、VARCHAR或者TEXT类型的列上创建。MySQL中只有MyISAM存储引擎支持全文索引。

  1. 空间索引 空间索引是对空间数据类型的字段建立的索引,MySQL中的空间数据类型有4中,分别是:geometry、point、linstring和polygon 。MySQL使用SPATIAL关键字进行扩展,使得能够用于创建空间索引的列,必须将其声明为NOT NULL,空间索引只能在存储引擎为MyISAM的表中创建。

创建索引的规则

(1)创建索引并非是越多越好,一个表中如果有大量的索引,不仅占用磁盘空间,而且会影响insert、delete、update等语句的性能。因为当表中的数据更改时,索引也会进行调整和更新。

(2)数据量小得表最好不要创建索引,由于数据较少,查询花费的时间可能比遍历索引的时间还要长。

(3)避免对经常更新的数据创建索引。而对经常用于查询的字段应该创建索引。

(4)在条件表达式中经常用到的不同值较多的列创建索引

(5)当唯一性是某种数据本身的特征时,我们创建唯一性索引

(6)在频繁进行排序或分组的列上建立索引,如果排序的列有多个,可以创建组合索引

创建索引


Create index 创建索引

alter table 添加索引

Create table 表名[字段名 数据类型] [unique唯一索引|fulltext全文索引|spatial空间索引] [index|key] [索引名] (col_name [length]) [asc |desc]

普通索引

普通索引是最基础的索引类型,没有唯一性的限制。作用是只加快对数据的访问速度。

先创建book表,创建索引为year_publication

mysql> CREATE TABLE book->  (->  bookid INT NOT NULL,->  bookname VARCHAR(255) NOT NULL,->  authors VARCHAR(255) NOT NULL,->  info VARCHAR(255) NULL,->  comment VARCHAR(255) NULL,->  year_publication YEAR NOT NULL,->  INDEX(year_publication)->  );
Query OK, 0 rows affected (0.03 sec)

查看创建的索引

注:\G结尾表示纵向查看

mysql> show create table book\G
*************************** 1. row ***************************Table: book
Create Table: CREATE TABLE `book` (`bookid` int(11) NOT NULL,`bookname` varchar(255) COLLATE utf8_bin NOT NULL,`authors` varchar(255) COLLATE utf8_bin NOT NULL,`info` varchar(255) COLLATE utf8_bin DEFAULT NULL,`comment` varchar(255) COLLATE utf8_bin DEFAULT NULL,`year_publication` year(4) NOT NULL,KEY `year_publication` (`year_publication`)
) ENGINE=InnoDB DEFAULT CHARSET=utf8 COLLATE=utf8_bin
1 row in set (0.00 sec)

explain

使用该命令判断索引是否正在被使用

mysql> explain select * from book where year_publication=1999\G
*************************** 1. row ***************************id: 1select_type: SIMPLEtable: bookpartitions: NULLtype: ref
possible_keys: year_publicationkey: year_publicationkey_len: 1ref: constrows: 1filtered: 100.00Extra: Using index condition
1 row in set, 1 warning (0.00 sec)

TYPE的取值范围 System const ref eq_ref index all range

唯一索引

创建唯一索引 唯一索引主要原因是减少查询索引列操作的执行时间。尤其是对比比较庞大的数据表。与普通索引类似,不同点在于:索引列的值必须唯一,但允许有空值。如果是组合索引,则列值的组合必须唯一。

创建唯一索引

mysql> CREATE TABLE t1->  (->  id INT NOT NULL,->  name CHAR(30) NOT NULL,->  UNIQUE INDEX UniqIdx(id)->  );
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)

查看唯一索引

mysql> show create table t1\G
*************************** 1. row ***************************Table: t1
Create Table: CREATE TABLE `t1` (`id` int(11) NOT NULL,`name` char(30) COLLATE utf8_bin NOT NULL,UNIQUE KEY `UniqIdx` (`id`)
) ENGINE=InnoDB DEFAULT CHARSET=utf8 COLLATE=utf8_bin
1 row in set (0.00 sec)

单列索引

单列索引:是在数据表中的某一字段上创建的索引,一个表中可以创建多个单列索引。

创建单列索引

mysql> CREATE TABLE t2->  (->  id INT NOT NULL,->  name CHAR(50) NULL,->  INDEX SingleIdx(name)->  );
Query OK, 0 rows affected (0.01 sec)

查看单列索引

mysql> show create table t2\G
*************************** 1. row ***************************Table: t2
Create Table: CREATE TABLE `t2` (`id` int(11) NOT NULL,`name` char(50) COLLATE utf8_bin DEFAULT NULL,KEY `SingleIdx` (`name`)
) ENGINE=InnoDB DEFAULT CHARSET=utf8 COLLATE=utf8_bin
1 row in set (0.00 sec)

组合索引

组合索引:是在多个字段上创建一个索引。遵循最左前缀原则。最左前缀 索引最左边的列来匹配行

创建组合索引

mysql> CREATE TABLE t3->  (->  id INT NOT NULL,->  name CHAR(30) NOT NULL,->  age INT NOT NULL,->  info VARCHAR(255),->  INDEX MultiIdx(id,name,age)->  );
Query OK, 0 rows affected (0.02 sec)

查看组合索引

mysql> show create table t3\G
*************************** 1. row ***************************Table: t3
Create Table: CREATE TABLE `t3` (`id` int(11) NOT NULL,`name` char(30) COLLATE utf8_bin NOT NULL,`age` int(11) NOT NULL,`info` varchar(255) COLLATE utf8_bin DEFAULT NULL,KEY `MultiIdx` (`id`,`name`,`age`)
) ENGINE=InnoDB DEFAULT CHARSET=utf8 COLLATE=utf8_bin
1 row in set (0.00 sec)

组合索引可以起几个索引的作用,但是使用时并不是随意查询哪个字段都是可以使用索引。而是遵循最左前缀:利用索引中最左边的列集来匹配行。这样的列集称为最左前缀。

全文索引

全文索引:FULLTEXT,可以用于全文搜索,5.7版本以前只有MyISAM存储引擎支持,而5.7版本以后innodb存储引擎也支持,并且只为CHAR\VARCHAR和TEXT 列。索引总是对整个列进行,不支持局部索引,适合大型数据的表

创建全文索引

mysql> CREATE TABLE t4->  (->  id INT NOT NULL,->  name CHAR(30) NOT NULL,->  age INT NOT NULL,->  info VARCHAR(255),->  FULLTEXT INDEX FullIdx(info(100))->  )ENGINE=MyISAM;
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)

查看全文索引

mysql> show create table t4\G
*************************** 1. row ***************************Table: t4
Create Table: CREATE TABLE `t4` (`id` int(11) NOT NULL,`name` char(30) COLLATE utf8_bin NOT NULL,`age` int(11) NOT NULL,`info` varchar(255) COLLATE utf8_bin DEFAULT NULL,FULLTEXT KEY `FullIdx` (`info`)
) ENGINE=MyISAM DEFAULT CHARSET=utf8 COLLATE=utf8_bin
1 row in set (0.00 sec)

例:创建xx34表,info列为全文索引并搜索。

MATCH (col1,col2,...) AGAINST (expr [search_modifier])create table xx34(id int,name varchar(20),info varchar(255),fulltext index chidx(info) with parser ngram);select * from xx34 where match(info) against("主义");

空间索引

空间索引:必须在MyISAM类型的表中创建,且空间类型的字段必须为非空。

创建空间索引

mysql>  CREATE TABLE t5->  (->  g GEOMETRY NOT NULL,->  SPATIAL INDEX spaIdx(g) ->  )ENGINE=MyISAM;
Query OK, 0 rows affected (0.01 sec)

查看空间索引

mysql> show create table t5\G
*************************** 1. row ***************************Table: t5
Create Table: CREATE TABLE `t5` (`g` geometry NOT NULL,SPATIAL KEY `spaIdx` (`g`)
) ENGINE=MyISAM DEFAULT CHARSET=utf8 COLLATE=utf8_bin
1 row in set (0.00 sec)

在已经存在的表上创建索引


Alter table 表名 add [unique唯一索引|fulltext全文索引|spatial空间索引] [index|key] [默认索引名] (定义索引名[length]) [asc|desc]

添加索引

在book表添加索引

mysql> alter table book add index BKNameIdx(bookname(30));
Query OK, 0 rows affected (0.02 sec)
Records: 0  Duplicates: 0  Warnings: 0

查看索引

mysql> show index from book\G
*************************** 1. row ***************************Table: bookNon_unique: 1Key_name: year_publicationSeq_in_index: 1Column_name: year_publicationCollation: ACardinality: 0Sub_part: NULLPacked: NULLNull: Index_type: BTREEComment: 
Index_comment: 
*************************** 2. row ***************************Table: bookNon_unique: 1Key_name: BKNameIdxSeq_in_index: 1Column_name: booknameCollation: ACardinality: 0Sub_part: 30Packed: NULLNull: Index_type: BTREEComment: 
Index_comment: 
2 rows in set (0.00 sec)

添加唯一索引

添加索引

mysql> alter table book add unique index Uniqldx(bookid);
Query OK, 0 rows affected (0.05 sec)
Records: 0  Duplicates: 0  Warnings: 0

查看索引

mysql> show index from book\G
*************************** 1. row ***************************Table: bookNon_unique: 0Key_name: UniqldxSeq_in_index: 1Column_name: bookidCollation: ACardinality: 0Sub_part: NULLPacked: NULLNull: Index_type: BTREEComment: 
Index_comment: 
*************************** 2. row ***************************Table: bookNon_unique: 1Key_name: year_publicationSeq_in_index: 1Column_name: year_publicationCollation: ACardinality: 0Sub_part: NULLPacked: NULLNull: Index_type: BTREEComment: 
Index_comment: 
*************************** 3. row ***************************Table: bookNon_unique: 1Key_name: BKNameIdxSeq_in_index: 1Column_name: booknameCollation: ACardinality: 0Sub_part: 30Packed: NULLNull: Index_type: BTREEComment: 
Index_comment: 
3 rows in set (0.00 sec)

添加单列索引

添加索引

mysql> alter table book add index BKidex(comment(50));
Query OK, 0 rows affected (0.01 sec)
Records: 0  Duplicates: 0  Warnings: 0

查看索引

mysql> show index from book\G
*************************** 1. row ***************************Table: bookNon_unique: 0Key_name: UniqldxSeq_in_index: 1Column_name: bookidCollation: ACardinality: 0Sub_part: NULLPacked: NULLNull: Index_type: BTREEComment: 
Index_comment: 
*************************** 2. row ***************************Table: bookNon_unique: 1Key_name: year_publicationSeq_in_index: 1Column_name: year_publicationCollation: ACardinality: 0Sub_part: NULLPacked: NULLNull: Index_type: BTREEComment: 
Index_comment: 
*************************** 3. row ***************************Table: bookNon_unique: 1Key_name: BKNameIdxSeq_in_index: 1Column_name: booknameCollation: ACardinality: 0Sub_part: 30Packed: NULLNull: Index_type: BTREEComment: 
Index_comment: 
*************************** 4. row ***************************Table: bookNon_unique: 1Key_name: BKidexSeq_in_index: 1Column_name: commentCollation: ACardinality: 0Sub_part: 50Packed: NULLNull: YESIndex_type: BTREEComment: 
Index_comment: 
4 rows in set (0.00 sec)

添加全文索引

添加索引

mysql> CREATE TABLE t6->  (->  id INT NOT NULL,->  info CHAR(255)->  )ENGINE=MyISAM;
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)mysql> ALTER TABLE t6 ADD FULLTEXT INDEX InfoFULIdx(info);
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)
Records: 0  Duplicates: 0  Warnings: 0

查看全文索引

mysql> show index from t6\G
*************************** 1. row ***************************Table: t6Non_unique: 1Key_name: InfoFULIdxSeq_in_index: 1Column_name: infoCollation: NULLCardinality: NULLSub_part: NULLPacked: NULLNull: YESIndex_type: FULLTEXTComment: 
Index_comment: 
1 row in set (0.00 sec)

添加组合索引

添加索引

mysql>  ALTER TABLE book ADD INDEX BKAUthAndInfoIdx(authors(20),info(50));
Query OK, 0 rows affected (0.01 sec)
Records: 0  Duplicates: 0  Warnings: 0

查看索引

mysql> show index from book\G
*************************** 1. row ***************************Table: bookNon_unique: 0Key_name: UniqldxSeq_in_index: 1Column_name: bookidCollation: ACardinality: 0Sub_part: NULLPacked: NULLNull: Index_type: BTREEComment: 
Index_comment: 
*************************** 2. row ***************************Table: bookNon_unique: 1Key_name: year_publicationSeq_in_index: 1Column_name: year_publicationCollation: ACardinality: 0Sub_part: NULLPacked: NULLNull: Index_type: BTREEComment: 
Index_comment: 
*************************** 3. row ***************************Table: bookNon_unique: 1Key_name: BKNameIdxSeq_in_index: 1Column_name: booknameCollation: ACardinality: 0Sub_part: 30Packed: NULLNull: Index_type: BTREEComment: 
Index_comment: 
*************************** 4. row ***************************Table: bookNon_unique: 1Key_name: BKidexSeq_in_index: 1Column_name: commentCollation: ACardinality: 0Sub_part: 50Packed: NULLNull: YESIndex_type: BTREEComment: 
Index_comment: 
*************************** 5. row ***************************Table: bookNon_unique: 1Key_name: BKAUthAndInfoIdxSeq_in_index: 1Column_name: authorsCollation: ACardinality: 0Sub_part: 20Packed: NULLNull: Index_type: BTREEComment: 
Index_comment: 
*************************** 6. row ***************************Table: bookNon_unique: 1Key_name: BKAUthAndInfoIdxSeq_in_index: 2Column_name: infoCollation: ACardinality: 0Sub_part: 50Packed: NULLNull: YESIndex_type: BTREEComment: 
Index_comment: 
6 rows in set (0.00 sec)

添加空间索引

添加索引

mysql> CREATE TABLE t7->  (->  g GEOMETRY NOT NULL->  )ENGINE=MyISAM;
Query OK, 0 rows affected (0.01 sec)mysql> ALTER TABLE t7 ADD SPATIAL INDEX SpatIdx(g);
Query OK, 0 rows affected (0.01 sec)
Records: 0  Duplicates: 0  Warnings: 0

查看索引

mysql> show index from t7\G
*************************** 1. row ***************************Table: t7Non_unique: 1Key_name: SpatIdxSeq_in_index: 1Column_name: gCollation: ACardinality: NULLSub_part: 32Packed: NULLNull: Index_type: SPATIALComment: 
Index_comment: 
1 row in set (0.00 sec)

创建索引


创建一个book1表

mysql> create table book1 (bookid int not null, bookname varchar(255) not null,
-> authors varchar(255) not null, info varchar(255) null, comment varchar(255) null,
-> year_publication year not null );
Query OK, 0 rows affected (0.01 sec)

普通索引

mysql> create index bknameidex on book1(bookname);
Query OK, 0 rows affected (0.34 sec)
Records: 0 Duplicates: 0 Warnings: 0

单列索引

mysql> create index bkcmtidex on book1 (comment(50));
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)
Records: 0 Duplicates: 0 Warnings: 0

组合索引

mysql> create index bkauthandinfoidex on book1(authors(30),info(50));
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)
Records: 0 Duplicates: 0 Warnings: 0

全文索引

mysql> drop table t6;
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)
mysql> create table t6 ( id int not null, info char(255))engine=myisam;
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)
mysql> CREATE FULLTEXT INDEX FullIdex ON t6(info);
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)
Records: 0 Duplicates: 0 Warnings: 0

唯一索引

mysql> create unique index uniqidx on book1(bookid);
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)
Records: 0 Duplicates: 0 Warnings: 0

空间索引

mysql> drop table t7;
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)
mysql> create table t7 ( g geometry not null )engine=myisam;
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)
mysql> create spatial index spaidx on t7(g);
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)Records: 0 Duplicates: 0 Warnings: 0

删除索引


先查看book表的索引

mysql> show create table book\G
*************************** 1. row ***************************Table: book
Create Table: CREATE TABLE `book` (`bookid` int(11) NOT NULL,`bookname` varchar(255) COLLATE utf8_bin NOT NULL,`authors` varchar(255) COLLATE utf8_bin NOT NULL,`info` varchar(255) COLLATE utf8_bin DEFAULT NULL,`comment` varchar(255) COLLATE utf8_bin DEFAULT NULL,`year_publication` year(4) NOT NULL,KEY `year_publication` (`year_publication`),KEY `bknameidx` (`bookname`(30))
) ENGINE=InnoDB DEFAULT CHARSET=utf8 COLLATE=utf8_bin
1 row in set (0.00 sec)

使用alter命令删除索引后,再次查看book表已经删除bknameidx索引。

mysql> alter table book drop index bknameidx;
Query OK, 0 rows affected (0.03 sec)
Records: 0  Duplicates: 0  Warnings: 0mysql> show create table book\G
*************************** 1. row ***************************Table: book
Create Table: CREATE TABLE `book` (`bookid` int(11) NOT NULL,`bookname` varchar(255) COLLATE utf8_bin NOT NULL,`authors` varchar(255) COLLATE utf8_bin NOT NULL,`info` varchar(255) COLLATE utf8_bin DEFAULT NULL,`comment` varchar(255) COLLATE utf8_bin DEFAULT NULL,`year_publication` year(4) NOT NULL,KEY `year_publication` (`year_publication`)
) ENGINE=InnoDB DEFAULT CHARSET=utf8 COLLATE=utf8_bin
1 row in set (0.00 sec)

使用drop index删除

mysql> show create table t7\G
*************************** 1. row ***************************Table: t7
Create Table: CREATE TABLE `t7` (`g` geometry NOT NULL,SPATIAL KEY `spatidx` (`g`)
) ENGINE=MyISAM DEFAULT CHARSET=utf8 COLLATE=utf8_bin
1 row in set (0.00 sec)mysql> drop index spatidx on t7;
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)
Records: 0  Duplicates: 0  Warnings: 0mysql> show create table t7\G
*************************** 1. row ***************************Table: t7
Create Table: CREATE TABLE `t7` (`g` geometry NOT NULL
) ENGINE=MyISAM DEFAULT CHARSET=utf8 COLLATE=utf8_bin
1 row in set (0.00 sec)

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大模型分布式系统

背景&#xff1a;模型越来越大&#xff0c;训练复杂度越来越高&#xff0c;需要训练的时间也是越来越长。那么我们该如何在现有的硬件基础上对模型做训练呢。模型规模的扩大&#xff0c;对硬件&#xff08;算力、内存&#xff09;的发展提出要求。然而&#xff0c;因为 内存墙 …...

ESP32 I2S音频总线学习笔记(四): INMP441采集音频并实时播放

简介 前面两期文章我们介绍了I2S的读取和写入&#xff0c;一个是通过INMP441麦克风模块采集音频&#xff0c;一个是通过PCM5102A模块播放音频&#xff0c;那如果我们将两者结合起来&#xff0c;将麦克风采集到的音频通过PCM5102A播放&#xff0c;是不是就可以做一个扩音器了呢…...

【HTML-16】深入理解HTML中的块元素与行内元素

HTML元素根据其显示特性可以分为两大类&#xff1a;块元素(Block-level Elements)和行内元素(Inline Elements)。理解这两者的区别对于构建良好的网页布局至关重要。本文将全面解析这两种元素的特性、区别以及实际应用场景。 1. 块元素(Block-level Elements) 1.1 基本特性 …...

代码随想录刷题day30

1、零钱兑换II 给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币&#xff0c;另给一个整数 amount 表示总金额。 请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额&#xff0c;返回 0 。 假设每一种面额的硬币有无限个。 题目数据保证结果符合 32 位带…...

springboot整合VUE之在线教育管理系统简介

可以学习到的技能 学会常用技术栈的使用 独立开发项目 学会前端的开发流程 学会后端的开发流程 学会数据库的设计 学会前后端接口调用方式 学会多模块之间的关联 学会数据的处理 适用人群 在校学生&#xff0c;小白用户&#xff0c;想学习知识的 有点基础&#xff0c;想要通过项…...

排序算法总结(C++)

目录 一、稳定性二、排序算法选择、冒泡、插入排序归并排序随机快速排序堆排序基数排序计数排序 三、总结 一、稳定性 排序算法的稳定性是指&#xff1a;同样大小的样本 **&#xff08;同样大小的数据&#xff09;**在排序之后不会改变原始的相对次序。 稳定性对基础类型对象…...

Linux nano命令的基本使用

参考资料 GNU nanoを使いこなすnano基础 目录 一. 简介二. 文件打开2.1 普通方式打开文件2.2 只读方式打开文件 三. 文件查看3.1 打开文件时&#xff0c;显示行号3.2 翻页查看 四. 文件编辑4.1 Ctrl K 复制 和 Ctrl U 粘贴4.2 Alt/Esc U 撤回 五. 文件保存与退出5.1 Ctrl …...

iview框架主题色的应用

1.下载 less要使用3.0.0以下的版本 npm install less2.7.3 npm install less-loader4.0.52./src/config/theme.js文件 module.exports {yellow: {theme-color: #FDCE04},blue: {theme-color: #547CE7} }在sass中使用theme配置的颜色主题&#xff0c;无需引入&#xff0c;直接可…...

Neko虚拟浏览器远程协作方案:Docker+内网穿透技术部署实践

前言&#xff1a;本文将向开发者介绍一款创新性协作工具——Neko虚拟浏览器。在数字化协作场景中&#xff0c;跨地域的团队常需面对实时共享屏幕、协同编辑文档等需求。通过本指南&#xff0c;你将掌握在Ubuntu系统中使用容器化技术部署该工具的具体方案&#xff0c;并结合内网…...

若依登录用户名和密码加密

/*** 获取公钥&#xff1a;前端用来密码加密* return*/GetMapping("/getPublicKey")public RSAUtil.RSAKeyPair getPublicKey() {return RSAUtil.rsaKeyPair();}新建RSAUti.Java package com.ruoyi.common.utils;import org.apache.commons.codec.binary.Base64; im…...

链式法则中 复合函数的推导路径 多变量“信息传递路径”

非常好&#xff0c;我们将之前关于偏导数链式法则中不能“约掉”偏导符号的问题&#xff0c;统一使用 二重复合函数&#xff1a; z f ( u ( x , y ) , v ( x , y ) ) \boxed{z f(u(x,y),\ v(x,y))} zf(u(x,y), v(x,y))​ 来全面说明。我们会展示其全微分形式&#xff08;偏导…...