概率密度函数pdf的某种解释与洞察

1.一个想法实验

我在想一个数，姑且称之为X，介于0和10之间(含0和10)。如果我不告诉你别的，你会想象X = 0的概率是多少？X = 4？假设我对任何特定的数字都没有偏好，你会想象十一个整数0，1，2，.….，10也是一样。因为所有的概率加起来必须是1，所以逻辑上的结论是给11个选项中的每一个分配1/11的概率，也就是说，你假设对于从0到10的任何整数I，X = i的概率是1/11，我们写为 更多比喻 Pr(X=)=1 对于i = 0，1，2，..., 10. 在这个描述中隐含的假设是，X是任何其他数X的概率为零。（这里我们对随机数X和变量X进行了区分，变量X可以代表任何固定数。)我们可以把这个隐含的假设写成 如果X不是{0，1，2，...,10}. 如果我告诉你我在考虑一个介于0和1之间的数字X，会有什么变化？你可能会假设我想的是数字0或者数字1，你会给这两个选项分配1/2的概率。或者，你可能会猜测我心里有两个以上的选择。我说的话中没有任何东西迫使你得出结论，我想的是一个整数。 也许我想的是1/2，或1/4，或7/8。一旦你开始走这条路，可能性是无穷无尽的。我可以考虑0和1之间的任何分数。但是谁说我把自己局限于有理数了？我甚至可以想到像1/√/2或x/5这样的无理数。如果我们允许数字X可能是区间【0，1】中的任何实数，那么显然有无限多种可能性。（当然，我也可以认为0到10之间的数字是非整数，但大多数人会认为我在这种情况下指的是整数。)

既然我们不想假设我偏爱任何特定的数字，那么我们应该坚持每个数字的概率是相同的。换句话说，