【算法优选】 动态规划之子数组、子串系列——壹

🎋前言

动态规划相关题目都可以参考以下五个步骤进行解答：

1. 状态表示

2. 状态转移⽅程

3. 初始化

4. 填表顺序

5. 返回值

后面题的解答思路也将按照这五个步骤进行讲解。

🎋最大子数组和

🚩题目描述

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组是数组中的一个连续部分。

• 示例 1：
  输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
  输出：6
  解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
• 示例 2：
  输入：nums = [1]
  输出：1
• 示例 3：
  输入：nums = [5,4,-1,7,8]
  输出：23

class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {}
}

🚩算法思路

1. 状态表示：

对于线性 dp ，我们可以⽤「经验 + 题⽬要求」来定义状态表示：

• 以某个位置为结尾，进行一系列操作；
• 以某个位置为起点，进行一系列操作。

这⾥我们选择比较常用的方式，以「某个位置为结尾」，结合「题目要求」，定义⼀个状态表示：

dp[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的「所有⼦数组」中和的最⼤和。

2. 状态转移⽅程：

dp[i] 的所有可能可以分为以下两种：

• 子数组的长度为 1 ：此时 dp[i] = nums[i] ；
• 子数组的长度⼤大于 1 ：此时 dp[i] 应该等于 以 i - 1 做结尾的「所有⼦数组」中和 的最⼤值再加上 nums[i] ，也就是 dp[i - 1] + nums[i] 。

由于我们要的是「最大值」，因此应该是两种情况下的最⼤值，因此可得转移⽅程：

• dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i]) 。

3. 初始化：

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点：

• 辅助结点里面的值要「保证后续填表是正确的」；
• 「下标的映射关系」。

在本题中，最前⾯加上⼀个格⼦，并且让 dp[0] = 0 即可。

4. 填表顺序

根据「状态转移⽅程」易得，填表顺序为「从左往右」。

5. 返回值：

状态表示为「以 i 为结尾的所有⼦数组」的最⼤值，但是最大子数组和的结尾我们是不确定的。

因此我们需要返回整个 dp 表中的最⼤值。

🚩代码实现

class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {int[] dp = new int[nums.length + 1];int ret = Integer.MIN_VALUE;for (int  i = 1; i < dp.length; i++) {dp[i] = Math.max(nums[i -1],dp[i - 1] + nums[i - 1]);ret = Math.max(ret,dp[i]);}return ret;}
}

🌴环形子数组的最大和

🚩题目描述

给定一个长度为 n 的环形整数数组 nums ，返回 nums 的非空 子数组 的最大可能和 。

环形数组 意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。形式上， nums[i] 的下一个元素是 nums[(i + 1) % n] ， nums[i] 的前一个元素是 nums[(i - 1 + n) % n] 。

子数组 最多只能包含固定缓冲区 nums 中的每个元素一次。形式上，对于子数组 nums[i], nums[i + 1], …, nums[j] ，不存在 i <= k1, k2 <= j 其中 k1 % n == k2 % n 。

• 示例 1：
  输入：nums = [1,-2,3,-2]
  输出：3
  解释：从子数组 [3] 得到最大和 3
• 示例 2：
  输入：nums = [5,-3,5]
  输出：10
  解释：从子数组 [5,5] 得到最大和 5 + 5 = 10
• 示例 3：
  输入：nums = [3,-2,2,-3]
  输出：3
  解释：从子数组 [3] 和 [3,-2,2] 都可以得到最大和 3

class Solution {public int maxSubarraySumCircular(int[] nums) {}
}

🚩算法思路：

本题与「最大子数组和」的区别在于，考虑问题的时候不仅要分析「数组内的连续区域」，还要考虑「数组⾸尾相连」的⼀部分。结果的可能情况分为以下两种：

1. 结果在数组的内部，包括整个数组；
2. 结果在数组首尾相连的⼀部分上。

其中，对于第⼀种情况，我们仅需按照「最大子数组和」的求法就可以得到结果，记为 fmax 。

对于第⼆种情况，我们可以分析⼀下：

• 如果数组⾸尾相连的⼀部分是最⼤的数组和，那么数组中间就会空出来⼀部分；
• 因为数组的总和 sum 是不变的，那么中间连续的⼀部分的和⼀定是最小的；

因此，我们就可以得出⼀个结论，对于第⼆种情况的最⼤和，应该等于 sum - gmin ，其中gmin 表⽰数组内的「最⼩⼦数组和」。

两种情况下的最⼤值，就是我们要的结果。

但是，由于数组内有可能全部都是负数，第⼀种情况下的结果是数组内的最⼤值（是个负数），第⼆种情况下的 gmin == sum ，求的得结果就会是 0 。

若直接求两者的最⼤值，就会是 0 。但是实际的结果应该是数组内的最⼤值。对于这种情况，我们需要特殊判断⼀下。

由于「最⼤⼦数组和」的⽅法已经讲过，这⾥只提⼀下「最⼩⼦数组和」的求解过程，其实与「最⼤⼦数组和」的求法是⼀致的。⽤ f 表⽰最⼤和， g 表⽰最⼩和。

1. 状态表示：

g[i] 表⽰：以 i 做结尾的「所有⼦数组」中和的最⼩值。

2. 状态转移⽅程：

g[i] 的所有可能可以分为以下两种：

1. ⼦数组的⻓度为 1 ：此时 g[i] = nums[i] ；
2. ⼦数组的⻓度⼤于 1 ：此时 g[i] 应该等于 以 i - 1 做结尾的「所有⼦数组」中和的最⼩值再加上 nums[i] ，也就是 g[i - 1] + nums[i] 。

由于我们要的是最⼩⼦数组和，因此应该是两种情况下的最⼩值，因此可得转移⽅程：

• g[i] = min(nums[i], g[i - 1] + nums[i]) 。

3. 初始化：
   可以在最前⾯加上⼀个辅助结点，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

• 辅助结点⾥⾯的值要保证后续填表是正确的；

• 下标的映射关系。

在本题中，最前⾯加上⼀个格⼦，并且让 g[0] = 0 即可。

4. 填表顺序：

根据状态转移⽅程易得，填表顺序为「从左往右」。

5. 返回值：

• 先找到 f 表⾥⾯的最⼤值 -> fmax ；
• 找到 g 表⾥⾯的最⼩值 -> gmin ；
• 统计所有元素的和 -> sum ；
• 返回 sum == gmin ? fmax : max(fmax, sum - gmin)

🚩代码实现

    public int maxSubarraySumCircular(int[] nums) {// 1. 创建 dp 表// 2. 初始化// 3. 填表// 4. 返回值int n = nums.length;int[] f = new int[n + 1];int[] g = new int[n + 1];int sum = 0;int fmax = Integer.MIN_VALUE;int gmin = Integer.MAX_VALUE;for(int i = 1; i <= n; i++) {int x = nums[i - 1];f[i] = Math.max(x, x + f[i - 1]);fmax = Math.max(fmax, f[i]);g[i] = Math.min(x, x + g[i - 1]);gmin = Math.min(gmin, g[i]);sum += x;}return sum == gmin ? fmax : Math.max(fmax, sum - gmin);}

🌲乘积最大子数组

🚩题目描述

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续

子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

测试用例的答案是一个 32-位 整数。

• 示例 1:
  输入: nums = [2,3,-2,4]
  输出: 6
  解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。
• 示例 2:
  输入: nums = [-2,0,-1]
  输出: 0
  解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

class Solution {public int maxProduct(int[] nums) {}
}

🚩算法思路：

这道题与「最大子数组和] 非常相似，我们可以效仿着定义⼀下状态表⽰以及状态转移：

• dp[i] 表示以 i 为结尾的所有子数组的最⼤乘积，
• dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] * nums[i]) ；

由于正负号的存在，我们很容易就可以得到，这样求 dp[i] 的值是不正确的。因为 dp[i - 1] 的信息并不能让我们得到 dp[i] 的正确值。

比如数组 [-2, 5, -2] ，用上述状态转移得到的 dp数组为 [-2, 5, -2] ，最⼤乘积为 5 。但是实际上的最⼤乘积应该是所有数相乘，结果为 20 。

究其原因，就是因为我们在求 dp[2] 的时候，因为 nums[2] 是⼀个负数，因此我们需要的是「 i - 1 位置结尾的最⼩的乘积 （-10） 」，这样⼀个负数乘以「最⼩值」，才会得到真实的最⼤值。

因此，我们不仅需要⼀个「乘积最⼤值的 dp 表」，还需要⼀个「乘积最⼩值的 dp 表」。

1. 状态表⽰：

f[i] 表⽰：以 i 结尾的所有⼦数组的最⼤乘积，
g[i] 表⽰：以 i 结尾的所有⼦数组的最⼩乘积。

2. 状态转移⽅程：

遍历每⼀个位置的时候，我们要同步更新两个 dp 数组的值。

对于 f[i] ，也就是「以 i 为结尾的所有⼦数组的最⼤乘积」，对于所有⼦数组，可以分为下⾯三种形式：

• ⼦数组的⻓度为 1 ，也就是 nums[i] ；
• ⼦数组的⻓度⼤于 1 ，但 nums[i] > 0 ，此时需要的是 i - 1 为结尾的所有⼦数组的最⼤乘积 f[i - 1] ，再乘上 nums[i] ，也就是 nums[i] * f[i - 1] ；
• ⼦数组的⻓度⼤于 1 ，但 nums[i] < 0 ，此时需要的是 i - 1 为结尾的所有⼦数组的最⼩乘积 g[i - 1] ，再乘上 nums[i] ，也就是 nums[i] * g[i - 1] ；（如果 nums[i] = 0 ，所有⼦数组的乘积均为 0 ，三种情况其实都包含了）

综上所述， f[i] = max(nums[i], max(nums[i] * f[i - 1], nums[i] * g[i -
1]) )。

对于 g[i] ，也就是「以 i 为结尾的所有⼦数组的最⼩乘积」，对于所有⼦数组，可以分为下⾯三种形式：

• 子数组的⻓度为 1 ，也就是 nums[i] ；
• 子数组的⻓度⼤于 1 ，但 nums[i] > 0 ，此时需要的是 i - 1 为结尾的所有子数组的最⼩乘积 g[i - 1] ，再乘上 nums[i] ，也就是 nums[i] * g[i - 1] ；
• 子数组的长度度⼤于 1 ，但 nums[i] < 0 ，此时需要的是 i - 1 为结尾的所有子数组的最⼤乘积 f[i - 1] ，再乘上 nums[i] ，也就是 nums[i] * f[i - 1] ；

综上所述， g[i] = min(nums[i], min(nums[i] * f[i - 1], nums[i] * g[i - 1])) 。
（如果 nums[i] = 0 ，所有⼦数组的乘积均为 0 ，三种情况其实都包含了）

3. 初始化：

可以在最前面加上⼀个辅助结点，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

• 辅助结点里面的值要保证后续填表是正确的；
• 下标的映射关系。

在本题中，最前⾯加上⼀个格⼦，并且让 f[0] = g[0] = 1 即可。

4. 填表顺序：

根据状态转移⽅程易得，填表顺序为「从左往右，两个表⼀起填」。

5. 返回值：

返回 f 表中的最⼤值

🚩代码实现

class Solution {public int maxProduct(int[] nums) {// 1. 创建 dp 表// 2. 初始化// 3. 填表// 4. 返回值int n = nums.length;int[] f = new int[n + 1];int[] g = new int[n + 1];f[0] = 1;g[0] = 1;int ret = Integer.MIN_VALUE;for(int i = 1; i <= n; i++) {int x = nums[i - 1];int y = f[i - 1] * nums[i - 1];int z = g[i - 1] * nums[i - 1];f[i] = Math.max(x, Math.max(y, z));g[i] = Math.min(x, Math.min(y, z));ret = Math.max(ret, f[i]);}return ret;}
}

⭕总结

关于《【算法优选】 动态规划之子数组、子串系列——壹》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！