BFS解决最短路问题(详解)

目录

BFS简介 && 框架：

一.二叉树的最小深度 

二：迷宫中里入口最近的出口：

 三.最小基因变化:

 四：单词接龙：

​五：为高尔夫比赛砍树：

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BFS简介 && 框架：

说到BFS，想必大家都不陌生，我们在学习二叉树的遍历时所用到的层序遍历其实就是BFS,那么BFS能解决什么样的问题呢？通过本文标题，你也大致能猜到----解决最短路问题，这是一个比较经典的问题，当然,BFS还能解决很多其他问题，本文就着重介绍其中一种---最短路问题。

BFS基本概念：

• BFS（广度优先搜索）:是一种图形搜索算法，它从根节点开始，逐层地向下扩展搜索。BFS通常用队列来实现，即先进先出的数据结构。这意味着每个节点都将按照它们被发现的顺序进行处理。具体地说，BFS算法会首先访问根节点，然后将其所有相邻的节点加入队列中。接下来，它将按照与队列中节点相同的顺序访问这些新节点，并将它们的相邻节点加入队列中。该过程一直持续到所有节点都被访问为止。

我们先举例一下 BFS 出现的常见场景吧，问题的本质就是让你在一幅「图」中找到从起点 start 到终点 target 的最近距离，这个例子听起来很枯燥，但是 BFS 算法问题其实都是在干这个事儿 ，其对应的大致框架如下：

// 计算从起点 start 到终点 target 的最近距离
int BFS(Node start, Node target) {Queue<Node> q; // 核心数据结构Set<Node> visited; // 避免走回头路q.offer(start); // 将起点加入队列visited.add(start);while (q not empty) {int sz = q.size();/* 将当前队列中的所有节点向四周扩散 */for (int i = 0; i < sz; i++) {Node cur = q.poll();/* 划重点：这里判断是否到达终点 */if (cur is target)return step;/* 将 cur 的相邻节点加入队列 */for (Node x : cur.adj()) {if (x not in visited) {q.offer(x);visited.add(x);}}}}// 如果走到这里，说明在图中没有找到目标节点
}

一.二叉树的最小深度 

先来个简单的问题实践一下 BFS 框架吧，判断一棵二叉树的最小高度，这也是力扣第 111 题「二叉树的最小深度open in new window」： 

题目描述：

给定一个二叉树，找出其最小深度。

最小深度是从根节点到最近叶子节点的最短路径上的节点数量。

说明：叶子节点是指没有子节点的节点。

这题比较简单，直接套用上面的框架即可，遇到第一个叶子节点直接返回对应深度即可：

代码详解：

class Solution {public int minDepth(TreeNode root) {Queue<TreeNode> q = new LinkedList<>();if(root == null){return 0;}int depth = 1;//初始树的深度是1q.offer(root);while(!q.isEmpty()){int sz = q.size();for(int i = 0;i < sz;i++){TreeNode cur = q.poll();if(cur.left == null && cur.right == null){return depth;}//----->如果cur == null --->//  cur.left不存在，null指针异常/*       q.offer(cur.left);q.offer(cur.right);不能直接将节点放入队列，*/if(cur.left != null){//要判空q.offer(cur.left);}if(cur.right != null){q.offer(cur.right);}}depth++;}return depth;}
}

运行结果：

这里注意这个 while 循环和 for 循环的配合，while 循环控制一层一层往下走，for 循环利用 sz 变量控制从左到右遍历每一层二叉树节点，将节点加入到队列中：

二：迷宫中里入口最近的出口：

题目链接：1926. 迷宫中离入口最近的出口 - 力扣（LeetCode）

题目描述：

给你一个 m x n 的迷宫矩阵 maze （下标从 0 开始），矩阵中有空格子（用 '.' 表示）和墙（用 '+' 表示）。同时给你迷宫的入口 entrance ，用 entrance = [entrancerow, entrancecol] 表示你一开始所在格子的行和列。

每一步操作，你可以往 上，下，左 或者 右 移动一个格子。你不能进入墙所在的格子，你也不能离开迷宫。你的目标是找到离 entrance 最近 的出口。出口 的含义是 maze 边界 上的 空格子。entrance 格子 不算 出口。 

请你返回从 entrance 到最近出口的最短路径的 步数 ，如果不存在这样的路径，请你返回 -1 。

思路：我们可以从起点开始层序遍历，并且在遍历的过程中记录当前遍历的层数。这样就能在找到出⼝的 时候，得到起点到出⼝的最短距离

其中，为了方便表示四个方向，我们可以通过定义两个数组来表示方向：dx[ ],dy[ ]，其中dx[ ],dy[ ]的位置要一一对应,具体操作如下：

代码详解：

class Solution {int[] dx = {0,0,-1,1};int[] dy = {1,-1,0,0};boolean[][] used;public int nearestExit(char[][] maze, int[] e) {int m = maze.length,n = maze[0].length;used = new boolean[m][n];//HashSet -- > Set来记录路径（走过的就不要再去走了）Queue<int[]> q = new LinkedList<>(); //int[]用来记录maze的下标q.offer(new int[]{e[0],e[1]});used[e[0]][e[1]] = true;int step = 0;//初始步数是0while(!q.isEmpty()){int sz = q.size();step++;for(int i = 0;i < sz;i++){int[] arr = q.poll();int a = arr[0],b = arr[1];for(int k = 0;k < 4;k++){//四个方向int x = dx[k] + a,y = dy[k] + b;if(x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && maze[x][y] == '.' && !used[x][y]){if(x == 0 || x == m - 1 || y == 0 || y == n - 1){return step;}q.offer(new int[]{x,y});used[x][y] = true;}}}}return -1;//找不到就返回-1}
}

运行结果：

 三.最小基因变化:

题目链接：433. 最小基因变化 - 力扣（LeetCode）

题目描述：

基因序列可以表示为一条由 8 个字符组成的字符串，其中每个字符都是 'A'、'C'、'G' 和 'T' 之一。

假设我们需要调查从基因序列 start 变为 end 所发生的基因变化。一次基因变化就意味着这个基因序列中的一个字符发生了变化。

• 例如，"AACCGGTT" --> "AACCGGTA" 就是一次基因变化。

另有一个基因库 bank 记录了所有有效的基因变化，只有基因库中的基因才是有效的基因序列。（变化后的基因必须位于基因库 bank 中）

给你两个基因序列 start 和 end ，以及一个基因库 bank ，请你找出并返回能够使 start 变化为 end 所需的最少变化次数。如果无法完成此基因变化，返回 -1 。

注意：起始基因序列 start 默认是有效的，但是它并不一定会出现在基因库中。

思路：用哈希表来记录搜索过的状态，存储基因库的信息（后续O(1)的时间查找），遍历一个字符串，将每个位置的可能的四种情况全部枚举出来，将没有被搜过或者存在基因库中的节点加入到队列。

代码详解：

class Solution {public int minMutation(String startGene, String endGene, String[] bank) {Set<String> hash = new HashSet<>();Set<String> vis = new HashSet<>();for(String x : bank) hash.add(x);char[] change = {'A','C','G','T'};if(!hash.contains(endGene)) return -1;if(endGene.equals(startGene)) return 0;Queue<String> q = new LinkedList<>();q.offer(startGene);vis.add(startGene);int step = 0;while(!q.isEmpty()){step++;int sz = q.size();while(sz-- != 0){String cur = q.poll();for(int i = 0;i < 8;i++){char[] temp = cur.toCharArray();for(int j = 0;j < 4;j++){temp[i] = change[j];String next = new String(temp);if(!vis.contains(next) && hash.contains(next)){if(next.equals(endGene)) return step;q.offer(next);vis.add(next);}}}}}return -1;}
}

运行结果：

 四：单词接龙：

题目链接：127. 单词接龙 - 力扣（LeetCode）

题目描述：

字典 wordList 中从单词 beginWord 和 endWord 的 转换序列 是一个按下述规格形成的序列 beginWord -> s1 -> s2 -> ... -> sk：

• 每一对相邻的单词只差一个字母。
•  对于 1 <= i <= k 时，每个 si 都在 wordList 中。注意， beginWord 不需要在 wordList 中。
• sk == endWord

给你两个单词 beginWord 和 endWord 和一个字典 wordList ，返回 从 beginWord 到 endWord 的 最短转换序列 中的 单词数目 。如果不存在这样的转换序列，返回 0 。

与上面一题基本类似，直接看代码：

class Solution {public int ladderLength(String beginWord, String endWord, List<String> wordList) {                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      Set<String> hash = new HashSet<>();//用于记录单词库中的单词Set<String> vis = new HashSet<>();//用于记录路径for(String x : wordList) hash.add(x);char[] change = {'a','b','c','d','e','f','g','h','i','j','k','l','m','n','o','p','q','r','s','t','u','v','w','x','y','z'};//记录要该表的列表//处理一下边界条件//if(beginWord.equals(endWord)) return 1; -->题目给出不会相等if(!hash.contains(endWord)) return 0;//bfsQueue<String> q = new LinkedList<>();q.offer(beginWord);vis.add(beginWord);int step = 1;//用于记录单词数while(!q.isEmpty()){step++;int sz = q.size();while(sz-- != 0){String cur = q.poll();int k = cur.length();for(int i = 0;i < k;i++){char[] temp = cur.toCharArray();for(int j = 0;j < 26;j++){temp[i] = change[j];String next = new String(temp);//满足条件入队列if(!vis.contains(next) && hash.contains(next)){if(next.equals(endWord)) return step;//找到直接返回单词数q.offer(next);vis.add(next);}}}}}return 0;}
}

运行结果：

五：为高尔夫比赛砍树：

题目链接：675. 为高尔夫比赛砍树 - 力扣（LeetCode）

题目描述：

你被请来给一个要举办高尔夫比赛的树林砍树。树林由一个 m x n 的矩阵表示， 在这个矩阵中：

• 0 表示障碍，无法触碰
• 1 表示地面，可以行走
• 比 1 大的数 表示有树的单元格，可以行走，数值表示树的高度

每一步，你都可以向上、下、左、右四个方向之一移动一个单位，如果你站的地方有一棵树，那么你可以决定是否要砍倒它。

你需要按照树的高度从低向高砍掉所有的树，每砍过一颗树，该单元格的值变为 1（即变为地面）。

你将从 (0, 0) 点开始工作，返回你砍完所有树需要走的最小步数。 如果你无法砍完所有的树，返回 -1 。

可以保证的是，没有两棵树的高度是相同的，并且你至少需要砍倒一棵树。

思路：

a. 先找出砍树的顺序；

b. 然后按照砍树的顺序，⼀个⼀个的⽤ bfs 求出最短路即可。 

代码详解：

class Solution {int m,n;public int cutOffTree(List<List<Integer>> forest) {m = forest.size();n = forest.get(0).size();//将是树的位置装入容器中List<int[]> trees = new ArrayList<>();for(int i = 0;i < m;i++){for(int j = 0;j < n;j++){if(forest.get(i).get(j) > 1){trees.add(new int[]{i,j});}}}//排序,按照树的相对高度对树对应坐标排序Collections.sort(trees,(a,b) ->{return forest.get(a[0]).get(a[1]) - forest.get(b[0]).get(b[1]);});int res = 0;int bx = 0,by = 0;for(int[] tree : trees){int x = tree[0],y = tree[1];//拿出下一个要去的位置的下表int step = bfs(forest,bx,by,x,y);//迷宫问题if(step == -1) return -1;res += step;//所有路径的最小值的和，就是答案bx = x;by = y;//更新起始位置的值}return res;}//迷宫问题->找到目标位置的最小步数int[] dx = {0,0,-1,1};int[] dy = {1,-1,0,0};public int bfs(List<List<Integer>> forest,int bx,int by,int ex,int ey){if(bx == ex && by == ey) return 0;//如果目标就在原地，直接返回boolean[][] used = new boolean[m][n];Queue<int[]> q = new LinkedList<>();q.offer(new int[]{bx,by});used[bx][by] = true;int step = 0;while(!q.isEmpty()){step++;int sz = q.size();while(sz-- != 0){int[] temp = q.poll();int a = temp[0],b = temp[1];for(int i = 0;i < 4;i++){int x = a + dx[i],y = b + dy[i];if(x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && !used[x][y] && forest.get(x).get(y) != 0){if(x == ex && y == ey) return step;q.offer(new int[]{x,y});used[x][y] = true;}}}}return -1;//没找到就返回-1}
}

结语： 写博客不仅仅是为了分享学习经历，同时这也有利于我巩固知识点，总结该知识点，由于作者水平有限，对文章有任何问题的还请指出，接受大家的批评，让我改进。同时也希望读者们不吝啬你们的点赞+收藏+关注，你们的鼓励是我创作的最大动力！